BF teoría secreto tiene otro nombre - $Z_n$ teoría de gauge en la fase partonic límite. El parámetro $n$ es lo que aparece en la parte frontal de la $BF$ acción. $Z_n$ teoría de gauge se pueden definir en cualquier colector desea - acaba de introducir una celosía aproximación de las múltiples y calcular el gauge de la teoría de la función de partición. Tomando el extremo fase partonic límite de gauge de la teoría se puede comprobar que esta construcción es independiente de la forma en que se aproxima el colector.
Ejemplos básicos
En la fase partonic límite de la $Z_n$ flujo a través de cada plaquette de el gauge de la teoría es cero. (Esto es como la restricción impuesta por la integración de salida $B$.) Tenemos un residual de la libertad para especificar el holonomy alrededor de todo no contráctiles de bucles. Por lo tanto $Z_n(M) = Z_n(S^4) n^{b_1(M)}$ donde $Z_n(S^4)$ es una constante de normalización. Exigir que los $Z_n(S^3 \times S^1) =1$ da $Z_n(S^4) = 1/n$. Esta condición, $Z_n(S^3 \times S^1) = 1 $, es la afirmación de que la teoría tiene un único estado del suelo en $S^3$. En general, $Z_n(\Sigma^3 \times S^1)$$\text{tr}(e^{-\beta H})$, pero desde $H=0$ somos simplemente contar suelo de los estados.
Como una comprobación rápida, $Z_n(S^2 \times S^1 \times S^1) = n$, que es el número de puntos de los estados en $S^2 \times S^1$, e $Z_n(T^3\times S^1) = n^3$, que es el número de puntos de los estados en $T^3 = (S^1)^3$.
De relaciones más
Otra manera de controlar el valor de $Z_n(S^4)$: este es el normaliza topológico enredo de la entropía de un balón en el $3+1$d topológica de la fase descrita por fase partonic $Z_n$ teoría de gauge. Más precisamente, la topológico enredo de la entropía de una pelota es $-\ln{Z_n(S^4)}$ da $-\log{n}$ de acuerdo con explícita de la función de onda de los cálculos.
También podemos considerar la posibilidad de defectos. El $BF$ acción es $\frac{n}{2\pi} \int B \wedge d A$. Pointlike partículas (espacio-tiempo worldlines) que mínimamente par de a $A$ llevar $Z_n$$1$. Del mismo modo, la cadena de excitaciones (espacio-tiempo worldsheets) que mínimamente par de a $B$ act como el flujo de los tubos de llevar a $Z_n$ flujo de $2\pi/n$. Ahora, cuando un mínimo de partículas rodea un mínimo de flujo, se obtiene una fase de $2 \pi/n$ (AB fase), pero esto se desprende también de la $BF$ acción. Sin entrar en dos tantos detalles, el término de la acción, como la $B_{12} \partial_t A_3$ corrige el colector de $A_3$ $B_{12}$ $[A_3(x),B_{12}(y)] = \frac{2\pi i}{n} \delta^3(x-y)$ (espacio plano). Wilson-line como los operadores dado por $W_A = e^{i \int dx^3 A_3}$ $W_B = e^{i \int dx^1 dx^2 B_{12}}$ así satisfacer $W_A W_B = W_B W_A e^{2 \pi i /n}$ que es una expresión de la trenzado de flujo por encima de la que surge desde la partícula worldline ha traspasado el flujo de la cadena de worldsheet.
Comentarios sobre los comentarios
Conservador pensamientos
Si he entendido correctamente, lo que quiero hacer es una especie de argumentar directamente desde el continuum de la ruta integral y mostrar cómo la asimetría que usted ha mencionado surge. No he hecho este cálculo, por lo que no puedo ser de ayuda directa en este punto ahora mismo. Voy a reflexionar sobre ella, aunque.
Dicho esto, no está del todo claro para mí que el tratamiento de la acción como $\int A dB$ le lleva a uno a contar de 2 ciclos. Por supuesto, estoy de acuerdo en que 2-ciclos de la forma de conseguir que no trivial configuraciones de $B$, pero en un espíritu conservador, no está del todo claro para mí, después de calibre de fijación y la adición de fantasmas y cualquier otra cosa que usted necesita hacer, que la ruta de acceso integral simplemente recuentos de estos.
La forma en la que sé que la ruta integral de la cuenta 1-ciclos es que tengo una formulación alternativa, el gauge de la teoría, que es fácil de definir y de forma inequívoca hace el recuento. Sin embargo, no sé cómo funciona para la otra formulación. Supongo que un ingenuo supongo que sería mirar celosía 2-teoría de gauge para $B$, pero esto no parece funcionar.
De tierra de los estados
Una cosa que puedo dirección es la cuestión de la tierra estados. De hecho, estoy a favor de este enfoque, ya que uno no tiene que preocuparse acerca de lo que muchos ruta integral de sutilezas. Todo lo que realmente necesita es el colector.
Tomemos el ejemplo de elevar, $S^2 \times S^1$. Hay dos no trivial de los operadores en este caso, una $W_B$$S^2$$W_A$$S^1$. Además, estos dos operadores no conmutan, es por eso que hay sólo $n$ del suelo de los estados. Si definimos $|0\rangle$$W_A |0 \rangle = |0\rangle$, $n$ estados $\{|0\rangle, W_B |0\rangle, ..., W_B^{n-1} | 0 \rangle\}$ palmo del suelo espacio de estado y se distinguen por su $W_A$ autovalor. Es importante destacar, también puede etiquetar a los estados por $W_B$ autovalor, pero usted todavía consigue solamente $n$ estados. La dualidad de poincaré le asegura a usted que este recuento de los estados siempre, no importa cómo usted lo hace.
Además, el operador $W_B$ tiene una hermosa interpretación en términos de túnel de flujo en el que no contráctiles bucle medido por el $W_A$. Es más fácil visualizar el proceso análogo en 3d, pero todavía funciona aquí.
También se puede ver la diferencia entre la teoría en 4d y 4d. Dado que tanto $B$ $A$ 1-las formas que tienen diferentes posibilidades. El análogo de $S^2 \times S^1$ podría ser $S^1 \times S^1$ e este espacio no ha $n^2$ estados. Sin embargo, que se debe tanto a la $A$ $B$ puede envolver ambos ciclos.
Lo notable es que el $Z_n$ teoría de gauge formulación siempre lo hace bien. Simplemente contar el número de ciclos y eso es todo.
Llegar a otros espacios
El estado contando enfoque pone todo de la forma $Z_n(\Sigma^3 \times S^1)$, pero incluso en espacios como $S^2 \times S^2$ puede acceder. Usted puede hacer el directo euclidiana gauge de la teoría de la computación, o lo que podemos considerar la $Z_n(S^2 \times S^2) = |Z(S^2 \times D^2)|^2$ es decir, el producto interior de un estado en $S^2 \times S^1 = \partial (S^2 \times D^2)$ generado por el imaginario evolución en el tiempo.
