Dada la función $f(x,y)=(x-y)^2(x^2+y^2)-10(x-y)x^2+12y^2+2x+y$ y preguntó si la curva $f(x,y)=0$ tiene dos asíntotas oblicuas paralelas, dos asíntotas únicas, o si existe no hay asíntota oblicua. ¿Manual de encontrar las ecuaciones de la asíntota o hay algún atajo a esto?
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Ted Shifrin
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El enfoque algebraico aquí no es demasiado fácil, así que aquí está cómo fusionar en algunos cálculos (y algunos no trivial de la computación, tal vez hace con la ayuda de un CAS). Por supuesto, mediante una gráfica de CAS, usted puede fácilmente ver que hay dos asíntotas con pendiente $1$. Original de mi conjetura es que $y=x$ fue una asíntota porque de los principales factores de $x-y$. Yo estaba equivocado.
Deje $f(x,y) = (x-y)^2(x^2+y^2)-10(x-y)x^2+12y^2+2x+y$.
El uso implícito de la diferenciación, podemos examinar la limitación de la pendiente de la curva de nivel $f(x,y)=0$ al$y=mx+b$$x\to\infty$. El líder de comportamiento es $$\frac{dy}{dx} \approx \frac{m^3-2m^2+3m-2}{2m^3-3m^2+2m-1} = \frac{(m^2-m+2)(m-1)}{(2m^2-m+1)(m-1)},$$ y esto tiene límite de $m$ precisamente al $m=1$. Así que buscamos inclinación asíntotas $y=x+b$.
Vamos a repasar lo que significa para $y=x+b$ es una asíntota de la curva de $y=g(x)$. Esto significa que el error vertical entre la curva y la línea de los enfoques $0$, es decir, $$\lim_{x\to\infty} \big(g(x)-(x+b)\big) = 0.$$ Ahora, tenga en cuenta nuestro nivel de la curva de $f(x,y)=0$. Utilizando la aproximación lineal, tenemos $$0 = f(x,y) = f(x,x+b) + \frac{\partial f}{\partial y}(x,x+b)\big(y-(x+b)\big),$$ y así, nuestro error vertical está dada por $$y-(x+b) = -\frac{f(x,x+b)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,x+b)}. \tag{$\estrella de$}$$ Inicio perseverando, sustituyendo $y=x+b$ (por lo $x-y=-b$): \begin{align*} f(x,x+b) &= b^2(x^2+(x+b)^2)+10bx^2+12(x+b)^2 + 2x+x+b \\ &= 2(b^2+5b+6)x^2+2(b^3+12b)x+\dots. \end{align*} Este va a ser el más pequeño (para $x$) cuando el coeficiente inicial se desvanece, es decir, cuando se $b=-2$ o $b=-3$. En estos casos, $f(x,x+b)$ será dada por un polinomio lineal. Por otro lado, teniendo en cuenta ($\star$), $$\frac{\partial f}{\partial y}(x,x+b) = 2(2b+5)x^2 + \dots$$ es cuadrática para ambos $b=-2$$b=-3$, por lo que el cociente de dar a $y-(x+b)$ es el cociente de un polinomio lineal por un polinomio cuadrático, y por lo tanto va a$0$$x\to\infty$.
¡Uf! En suma, las asíntotas son $y=x-2$$y=x-3$, ya que, de hecho, @cuasi comentó.
Yves Daoust
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Si $m:=\lim_{x\to\infty}\dfrac yx$ existe y es finito, se produce una asíntota oblicua. $y=mx$ En la ecuación implícita de conectar y mantener sólo los términos cuártico en $x$,
$$(1-m)^2(1+m^2)=0$$ has the double root $m = 1$.
Para comprobar si las dos asíntotas son distintas o no, podemos conectar $y=x+p$ y resolver $p$:
$$(-p) ^ 2 (x ^ 2 + (x + p) ^ 2) -10 (-p) x ^ 2 +12 (x + p) ^ 2 +2 x + p x = 0 $
o, manteniendo sólo los términos cuadráticos en $x$,
$$2p^2+10p+12=0$$ which gives the roots $p =-2, p =-3$ y las asíntotas oblicuas
$$y=x-2,\y=x-3.$$
