¿Hay un nombre para la forma cerrada de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+ a^n}$?

Question

Espero que esto no es una cuestión de duplicar. Si modificamos la conocida serie geométrica, con $a>1$, a

¿$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+a^n} $ es una forma cerrada con un nombre?

Sospecho fuertemente que la respuesta no es en términos de funciones elementales, pero algunas funciones especiales se definirán como tal (como por ejemplo, de la talla de la función zeta de Hurwitz)

Answer 1

Podemos escribir $$\frac{1}{1+a^n}=\left[\frac{\partial}{\partial t}\ln\left(1+ta^{-n}\right)\right]{t=1},$ $, lo que implica que $$ \sum{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+a^n}=\left[\frac{\partial}{\partial t} \ln\prod {n = 0} ^ {\infty} \left(1+ta^{-n}\right)\right] {t = 1} = \left[\frac{\partial}{\partial t} \,\ln\left (-t; a ^ {-1} \right) {\ infty} \right] {t = 1}, $$ donde $(z,q)_{\infty}$ denota el símbolo q-Pochhammer.

Answer 2

Mediante la expansión de $\frac{1}{1+a^n}$ como una serie geométrica,

% $ $$\sum{n\geq 1}\frac{1}{1+a^n}=\sum{n\geq 1}\sum{m\geq 1}\frac{(-1)^{m+1}}{a^{mn}}=\sum{l\geq 1}\frac{1}{a^l}\sum{d\mid l}(-1)^{\frac{l}{d}+1}=\sum{l\geq 1}\frac{g(l)}{a^l}$$g(l)$Dónde está una aritmética función contar la diferencia entre el número de divisores impares y el número de divisores incluso. $-g$ es una función multiplicativa, para lo cual: $$ -g(2^k) = 1-k,\qquad -g(p^k) = 1+k,$ $ por lo tanto: $$\sum{n\geq 1}\frac{1}{1+a^n}=\sum{\nu=0}^{+\infty}(\nu-1)\sum_{q=0}^{+\infty}\frac{d(2q+1)}{a^{2^\nu(2q+1)}}.$ $