En un grupo $G$, demostrar el resultado siguiente

Question

Que $G$ ser un grupo en que $a^5=e$ y $aba^{-1}=b^m$ $m$, número entero positivo y un $a,b\in G$. Luego demostrar que $b^{m^5-1}=e$.

¿Progreso $$aba^{-1}=b^m\Rightarrow ab^ma^{-1}=b^{m^2}$ $ lo que será la próxima?

Answer 1

Tenemos %#% $ #%

Multiplicar por $$b=ebe=a^5ba^{-5}=a^4b^ma^{-4}=a^3b^{m^2}a^{-3}=a^2b^{m^3}a^{-2}=ab^{m^4}a^{-1}=b^{m^5}$, por lo tanto, tenemos $b^{-1}$.

Answer 2

Usted demostró que b $$ ^ {m ^ k} = un ^ b k un ^ {-k} $ (ampliar $b^m$ en la fórmula de $b^{m^2}$ y uso de inducción). Así, $$b^{m^5-1}=b^{-1}b^{m^5}=b^{-1}a^5 b a^{-5} = b^{-1}ebe = e.$ $