Resumen serie y tomando límites

Question

Dado que la serie $$\sum{-\infty}^\infty {1\over n^2+k^2}={\pi\over k \tanh (\pi k)}$$ and $\sum{-\infty}^\infty {1\over (n + k) ^ 2} = {\pi^2\over \sin^2 (\pi k)} $

¿Cómo podemos tomar el límite de $k\to 0$ para que podamos $\sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi\over 6}$?

Answer 1

Desde su primer resultado, $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2+k^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{k \tanh(\pi k)} - \frac{1}{k^2} \right) ahora utilizar %#% $ #%