Forma cerrada para una suma infinita

Question

Que $p$ ser primordial y que $0\le j\le p-1$. Me gustaría encontrar una expresión cerrada para la suma infinita $$f(p,j)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{p^i}{(pi+j)!}$ $ los cómputos iniciales demuestran que $f(2,0)=\cosh\sqrt2-1$ y $f(2,1)=\frac{\sinh\sqrt 2}{\sqrt 2}-1$. ¿Alguna idea?

Answer 1

Recallin la función de Mittag-Leffler

$$E{\alpha,\beta}(z)= \sum{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{\Gamma(\alpha k+\beta)}. $$

Su serie se expresan fácilmente en términos de la función anterior como

$$ f(p,j)=\sum{i=0}^{\infty}\frac{p^i}{(pi+j)!}= \sum{i=0}^{\infty}\frac{p^i}{\Gamma(pi+j+1)} = E_{p,j+1}(p). $$.

Tenga en cuenta que $n!=\Gamma(n+1)$.