¿Cómo probar esto sin utilizar la inducción?

Question

Cómo probar esto sin utilizar la inducción

$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n-1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}$$

Answer 1

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} \sum{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}&=\sum{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)\\ &=\sum{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}\right)-\sum{k=1}^{n}\frac1k\\ &=\sum{k=1}^{2n}\frac1k -\sum{k=1}^{n}\frac1k\\ \sum{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}&=\sum{k=n+1}^{2n}\frac1k \tag 1 \end {Alinee el} $$

Por lo tanto, restando el último término de la suma del lado izquierdo de $(1)$ de ambos lados da la codiciada igualdad

$$\sum{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k}=\sum{k=n}^{2n-1}\frac1k$$

Answer 2

$$\sum{r=1}^{2n}\dfrac1r=\sum{r=1}^n\dfrac1{2r-1}+\sum{r=1}^n\dfrac1{2r} =\sum{r=1}^n\dfrac1{2r-1}+\dfrac12\sum_{r=1}^n\dfrac1r$$

Así, $$\sum{r=n}^{2n}\dfrac1r=\sum{r=1}^{2n}\dfrac1r-\sum{r=1}^n\dfrac1r =\sum{r=n}^{2n}\dfrac1r=\left(\sum{r=1}^n\dfrac1{2r-1}+\dfrac12\sum{r=1}^n\dfrac1r\right)-\sum_{r=1}^n\dfrac1r=?$ $

Answer 3

Que $A(n)=\frac 11 + \frac 12 + \frac 13 + \dots + \frac 1n$. Tenemos $$\begin{align} A(2n)&=\frac 11 + \frac 12 + \frac 13 + \dots + \frac 1n + \dots + \frac 1{2n} \ &=\left(\frac 11 + \frac 13 + \frac 15 + \dots + \frac 1{2n-1}\right)+\left(\frac 12 + \frac 14 + \frac 16 + \dots + \frac 1{2n}\right) \ &=\left(\frac 11 + \frac 13 + \frac 15 + \dots + \frac 1{2n-1}\right)+\frac 12 A(n) \end {Alinee el} $$ sin embargo, también tenemos $$\begin{align} A(2n)&=\frac 11 + \frac 12 + \frac 13 + \dots + \frac 1n + \dots + \frac 1{2n} \ &=A(n)+\left(\frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} +\dots + \frac 1{2n} + \dots + \frac 1{2n} \right) \end {Alinee el} así $$ $$\begin{align} A(n)+\left(\frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} +\dots + \frac 1{2n} + \dots + \frac 1{2n} \right) &=\left(\frac 11 + \frac 13 + \frac 15 + \dots + \frac 1{2n-1}\right)+\frac 12 A(n) \ \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} +\dots + \frac 1{2n} + \dots + \frac 1{2n} &=\left(\frac 11 + \frac 13 + \frac 15 + \dots + \frac 1{2n-1}\right)-\frac 12 A(n) \ &= \frac 11 -\frac 12 + \frac 15-\frac 14 + \dots + \frac 1{2n-1} \end {Alinee el} $$