Cómo computar inferior Central serie a mano para este sencillo ejemplo

Question

Deje $G=\langle x,y,z\mid z^2=1\rangle\cong \mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\mathbb{Z}/2$.

Estoy interesado para calcular a mano (o por cualquier otro medio) el cociente de los grupos de $\gamma_n/\gamma_{n+1}$ donde $\gamma_n$ $n$th término de la parte inferior central de la serie. Que es $\gamma_1=G$, $\gamma_2=[G,G]$, $\gamma_3=[\gamma_2,G]$, etc.

Para $\gamma_1/\gamma_2$, es esencialmente el abelianization de $G$, por lo tanto es $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$.

Me estoy enfrentando algunas dificultades computing $\gamma_2/\gamma_3$.

He calculado que $\gamma_2=[G,G]=\langle x^{-1}y^{-1}xy,x^{-1}z^{-1}xz,y^{-1}z^{-1}yz\mid z^2=1\rangle$. (Actualización: Este es probablemente equivocado.)

Sin embargo las cosas comienzan a complicarse con $\gamma_3=[\gamma_2,G]$. Hay un camino "fácil" para encontrar $\gamma_2/\gamma_3$ o de fuerza bruta el camino a seguir?

Gracias.

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Actualización: creo que mi expresión de $\gamma_2$ puede estar equivocado, no debe ser la manera más generadores de sólo el 3 conmutadores $x^{-1}y^{-1}xy,x^{-1}z^{-1}xz,y^{-1}z^{-1}yz$, en el hecho de $\gamma_2$ puede incluso no ser finitely generado?

Answer 1

$[G,G] = \gamma_2$ no es finitely generado. Pero es normal que se cierre el conjunto de $\{ [x,y],[x,z],[y,z]\}$ de los conmutadores de los tres generadores.

En el cociente grupo $\gamma_2/\gamma_3$, todos los conjugados de estos generadores tienen las mismas imágenes. Por ejemplo,$[x,y]^z\gamma_3 = [x,y]\gamma_3$, debido a $[x,y]^{-z}[x,y] = [z,[x,y]] \in \gamma_3$.

Por lo $\gamma_2/\gamma_3 = \langle [x,y]\gamma_3,[x,z]\gamma_3,[y,z]\gamma_3 \rangle$.

El primero de estos tres generadores tiene una infinidad de orden, sino $z^2=1$ implica que la segunda y la tercera tienen el fin de $2$, lo $\gamma_2/\gamma_3 \cong Z \oplus Z/(2Z) \oplus Z/(2Z)$ (he sido perezoso y escrita $Z$ en lugar de ${\mathbb Z}$.)

Es posible calcular más factores de $\gamma_i/\gamma_{i+1}$ pero se hace mucho más difícil a medida $i$ aumenta.