demostrar que la serie $\sum\frac{1}{f(k)}$ es convergente

Question

Sólo probé es convergente para todos los $\sum\frac{x^n}{(2n)!}$ $x \in \mathbb R$. Definir la función $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ %#% $ #% ahora la pregunta dice; demostrar que la serie $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!}$ es convergente.

Ahora estoy teniendo dificultad para entender esta cuestión, en definitiva como $\sum\frac{1}{f(k)}$ por lo tanto, tener que lidiar un poco con $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{f(k)}$ o es algo diferente? (Estoy sospechando de que para ser honesto, me refiero a qué otra cosa podría ser realmente).

Entonces después de la aclaración, las sugerencias son preferidas es preparación de la prueba :)

Answer 1

$x\geq 1$, $$\frac{e^x+e^{-x}}2{}=\sum{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$ $ Lo $ de $$\frac{e^{\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}}{2}=\sum{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{(2n)!}.$ $$f(k)=\frac{e^{\sqrt{k}}+e^{-\sqrt{k}}}{2},k\geq 1,$ $ y el $ de $$\sum \frac{1}{f(k)}$ la serie es convergente.

Answer 2

Puede resolver esto sin saber explícitamente lo que $f(k)$ es. Claramente usted tiene $k>0$ que $f(k)\ge \frac{k^2}{4!}$ % que $\frac1{f(k)}\le \frac{24}{k^2}$. Ahora usted puede utilizar la prueba de comparación y el hecho de que $\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}$ converge.

Answer 3

Sugerencia: $\sum_{k=0}^{+\infty} x^n/(2n)! = \cosh{(\sqrt{x})}$ y $\frac{1}{\cosh{\sqrt{x}}} = \operatorname{sech} {\sqrt{x}}$ utilizan la prueba de comparación.

Answer 4

Sí, suman como $\;\sum{k=0}^\infty f(k)$. Explícitamente, se trata de una suma doble: $$\sum{k=0}^\infty \Biggl(\frac 1{\sum_{n=0}^\infty \frac{k^n}{(2n)!}}\Biggr).$ $