Inadecuada integración $\int_{0}^\infty\frac{\ln(x\pi^x)\,dx}{x}$ converge o no.

Question

Yo estaba tratando de encontrar si el $\int_{0}^\infty\frac{\ln(x\pi^x)\,dx}{x}$ converge o no. Y después de integrar tengo

$\lim_{x\to\infty}(\frac{1}{2}\ln^2(x)+x\ln\pi)-\lim_{x\to0}(\frac{1}{2}\ln^2(x)+x\ln\pi)$. (Que voy a definir como Una)

y yo estaba perdido allí. Porque tengo $\infty$-$\infty$. ¿Quiere decir que la integral diverge para algo que es impredecible.(no $\infty$$\infty$)

También le pregunté a una pregunta relativa a la expresión anterior aquí L'hospital para inf-inf

Y se encontró que de acuerdo a un compañero de nombre gimusi, $$\lim_{x\to\infty}\left[ \left(\frac{1}{2}\ln^2(x)+x\ln\pi\right) - \left(\frac{1}{2}\ln^2(1/x)+(1/x)\ln\pi\right)\right]$$ (que voy a definir como B)

es, sin embargo calculable. Y he calculado que se aproxima a infinito. ¿Quiere decir que la integral diverge (hasta el infinito)? Estoy perdido ahora.

Preguntas Resumen:

1. Hace Un=B (no te lo parezca)
2. ¿La integral converge o diverge? (Y cómo darse cuenta de eso)

Answer 1

Tenemos que

$$\int_{0}^\infty\frac{\ln(x\pi^x)}{x}dx =\int_{0}^\infty\frac{\ln x +x\ln \pi }{x}dx =\int_{0}^\infty\frac{\ln x}{x}dx+\int_{0}^\infty\ln \pi \,dx$$

y podemos concluir aquí, ya que tanto las integrales divergentes.

Tenga en cuenta que para el límite que hemos

$$\left(\frac{1}{2}\ln^2(x)+x\ln\pi\right) - \left(\frac{1}{2}\ln^2(1/x)+(1/x)\ln\pi\right)$$

$$\frac{1}{2}\ln^2(x)+x\ln\pi - \frac{1}{2}\ln^2(1/x)-(1/x)\ln\pi$$

$$\frac{1}{2}\ln^2(x)+x\ln\pi - \frac{1}{2}\ln^2(x)-(1/x)\ln\pi$$

$$x\ln\pi -(1/x)\ln\pi \to \infty$$

pero no puede ser utilizado para evaluar la integral de hecho, para la integral impropia que debemos considerar para $a>0$ las dos integrales

$$\int_{0}^\infty\frac{\ln(x\pi^x)}{x}dx=\int_{0}^a \frac{\ln(x\pi^x)}{x}dx+\int_{a}^\infty\frac{\ln(x\pi^x)}{x}dx$$

y los dos límites en $0$ $\infty$ para las dos integrales son independientes y deben ser evaluados por separado.