Integración de función racional con límite 0 hasta el infinito.

Question

<blockquote> <p>Si $\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x=\large\displaystyle\dfrac1{ka^6}$, entonces encontrar el valor de $\displaystyle\dfrac{k}{8}$.</p> </blockquote> <p>He probado mucho pero finalmente estancada en una forma intermedia:</p> <p>$$\begin{align} &\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x, \text{with}\, {x^2=t},{2x~\mathrm{d}x=\mathrm{d}t}\\ &=\frac12\int_0^{\infty}\dfrac{(x^2)(2x)}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x=\frac12\int_0^{\infty}\dfrac{t}{t+a^2}\,\mathrm{d}t=\frac12\int_0^{\infty}\dfrac{t+a^2-a^2}{t+a^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac12\left[\int_0^{\infty}\mathrm{d}t-\int_0^{\infty}\dfrac{a^2}{t+a^2}\,\mathrm{d}t\right]=\frac12\left[t|_0^{\infty}-a^2\ln(a^2+t)|_0^{\infty}\right] \end {Alinee el} $$</p>

Answer 1

$$I={\displaystyle\int}\dfrac{x^3}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x$$

Sustituir $u=x^2+a^2$ así $\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2x}\,\mathrm{d}u$

$$I=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{\dfrac{1}{2}}}{\displaystyle\int}\dfrac{u-a^2}{u}\,\mathrm{d}u$$

$$I={\dfrac{1}{2}\displaystyle\int}\left(1-\dfrac{a^2}{u}\right)\mathrm{d}u$$ $$I=\dfrac{1}{2}{\displaystyle\int}1\,\mathrm{d}u-\dfrac{1}{2}\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{a^2}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u}\,\mathrm{d}u$$ $$I=\dfrac{u}{2}-\dfrac{a^2\ln\left(u\right)}{2}+c$$ $$I=\left(\dfrac{x^2+a^2}{2}-\dfrac{a^2\ln\left(x^2+a^2\right)}{2}\right)\biggr|_{x=0}^{\infty}$$

La integral es divergente.

Answer 2

$$I=\int_0^\infty\frac{x^3}{x^2+a^2}dx$ $ dejó en primer lugar, $u=x^2+a^2$ % que $\frac{du}{dx}=2x \therefore dx=\frac{du}{2x}$

$x=0$, $u=a^2$. $x\to\infty$, $\lim_{x\to \infty}\left(x^2+a^2\right)\to\infty$ Por lo que la integral se convierte en:

$$I=\frac{1}{2}\int{a^2}^\infty\frac{x^3}{x^2+a^2}.\frac{du}{x}=\frac{1}{2}\int{a^2}^\infty\frac{x^2}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{2}\int{a^2}^\infty\frac{u-a^2}{u}du=\frac{1}{2}\int{a^2}^\infty du-\frac{a^2}{2}\int_{a^2}^\infty\frac{1}{u}du$$

Ambas partes de este integral están divergentes y por lo tanto no puede calcularse la integral

Answer 3

El integral de no converge desde

\begin{align} \int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x&=\int_0^{\infty}\mathrm{d}t\int0^{\infty}\mathrm{d}x\,x^3\mathrm{e}^{-t(x^2+a^2)}\ &=\lim{b\to\,0 }\intb^{\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{-a^2 t}}{2 t^2}\,\mathrm{d}t\ &= \lim{b\to\,0 }\frac{\mathrm{e}^{-a^2b}-a^2b\, \Gamma\left(0,a^2b\right)}{2 b}\ &=\infty \end {Alinee el}