En un coloquio de la charla de ayer, Robert Bryant señaló que para todos los valores iniciales $a_0, a_1 \in \mathbb{R}$, la secuencia generada por la relación de recurrencia $$ a_{n+1} = |a_n| - a_{n-1} $$ resulta ser periódica con período de 9, es decir, $$ a_n = a_{n+9} = a_{n+18} = a_{n+27} = \cdots $$ Este es un interesante y de hecho inesperado, especialmente si se considera que para probar directamente la periodicidad (por escribir expresiones para $a_2, \dots, a_9$ en términos de $a_0, a_1$), tendría que demostrar la siguiente identidad monstruosa: $$ a_0 = -\left| \left| a_1\right| -a_0\right| -\left| -\left| \left| \left| a_1\right| -a_0\right| -a_1\right| +\left| a_1\right| +\left| -\left| \left| a_1\right| -a_0\right| +\left| \left| \left| \left| a_1\right| -a_0\right| -a_1\right| -\left| a_1\right| +a_0\right| +a_1\right| -a_0\right| +\left| \left| \left| \left| a_1\right| -a_0\right| -a_1\right| -\left| a_1\right| +a_0\right| +\left| \left| \left| \left| a_1\right| -a_0\right| -a_1\right| +\left| \left| \left| a_1\right| -a_0\right| +\left| -\left| \left| \left| a_1\right| -a_0\right| -a_1\right| +\left| a_1\right| +\left| -\left| \left| a_1\right| -a_0\right| +\left| \left| \left| \left| a_1\right| -a_0\right| -a_1\right| -\left| a_1\right| +a_0\right| +a_1\right| -a_0\right| -\left| \left| \left| \left| a_1\right| -a_0\right| -a_1\right| -\left| a_1\right| +a_0\right| -a_1\right| -\left| a_1\right| -\left| -\left| \left| a_1\right| -a_0\right| +\left| \left| \left| \left| a_1\right| -a_0\right| -a_1\right| -\left| a_1\right| +a_0\right| +a_1\right| +a_0\right| +a_1 $$ Por supuesto, un sencillo de "fuerza bruta" enfoque de este problema sería considerar de forma secuencial los casos $a_1 > a_0 > 0$, $a_0 > 0 > a_1$, etc. y muestran que la RHS whittles abajo al lado izquierdo en cada caso. Pero debido a la simplicidad de la original de la recurrencia de la relación, me pregunto si no hay una forma más elegante (esperemos que afectan a menos de casos) para ver que esta recurrencia debe ser de 9 periódicas.
- $a_{n+1}=|a_n|-a_{n-1} \implies a_n \; \text{is periodic}$ (2 respuestas )
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Permítanme comenzar con un par de observaciones.
La secuencia de $(a_n)$ es periódica con período de $9$ significa que $a_{n+9}=a_n$ para todos los enteros $n\geq 0$. La condición de $a_9=a_0$ no es suficiente para $(a_n)$ que han período de $9$, pero si también se $a_{10}=a_1$, la recurrencia, que calcula un término de los dos anteriores términos, se inicia la repetición de los nueve primeros valores $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_8$ más de una vez más.
Tenga en cuenta que la recurrencia de la relación también funciona al revés: $a_{n-1}=\left|a_n\right|-a_{n+1}$, por lo que para un determinado términos de $a_0$$a_1$, se puede calcular, de forma recursiva, los términos de $a_n$ para todos los enteros $n$. Esta observación proporciona otra prueba suficiente de la periodicidad, es decir,$a_{-9}=a_0$$a_{-8}=a_1$, y en la parte superior de que (casi) reduce a la mitad el número de casos que deben ser considerados, ya que al ir hacia atrás en los roles de los términos iniciales $a_0$ $a_1$ intercambiados. Así, por ejemplo, después de considerar el caso de $0\leq a_0\leq a_1\leq 2a_0$ no es necesario considerar el espejo caso de $0\leq a_1\leq a_0\leq 2a_1$.
Los casos no son lo que imaginaba; realmente no trabajar con ellos a través de, o lo hizo?
Basta considerar cinco casos. Aquí están, junto con los términos $a_2$, $a_3$, $\ldots$, $a_8$, $a_9$, $a_{10}$ producen:
Caso $a_0,\,a_1\leq 0\,$: $-a_0\!-\!a_1$, $\,-a_0\!-\!2a_1$, $\,-a_1$, $\,a_0\!+\!a_1$, $\,-a_0$, $\,-2a_0\!-\!a_1$, $\,-a_0\!-\!a_1$, $\,a_0$, $\,a_1$.
Caso $0\leq a_0\leq a_1\leq 2a_0\,$: $-a_0\!+\!a_1$, $\,-a_0$, $\,2a_0\!-\!a_1$, $\,3a_0\!-\!a_1$, $\,a_0$, $\,-2a_0\!+\!a_1$, $\,a_0\!-\!a_1$, $\,a_0$, $\,a_1$.
Caso $0\leq 2a_0\leq a_1\,$: $-a_0\!+\!a_1$, $\,-a_0$, $\,2a_0\!-\!a_1$, $\,-a_0\!+\!a_1$, $\,-3a_0\!+\!2a_1$, $\,-2a_0\!+\!a_1$, $\,a_0\!-\!a_1$, $\,a_0$, $\,a_1$.
Caso $a_0\leq0\leq a_1$, $a_0\!+\!a_1\geq 0\,$: $\,-a_0\!+\!a_1$, $\,-a_0$, $\,-a_1$, $\,a_0\!+\!a_1$, $\,a_0\!+\!2a_1$, $\,a_1$, $\,-a_0\!-\!a_1$, $\,a_0$, $\,a_1$.
Caso $a_0\leq0\leq a_1$, $a_0\!+\!a_1\leq 0\,$: $\,-a_0\!+\!a_1$, $\,-a_0$, $\,-a_1$, $\,a_0\!+\!a_1$, $\,-a_0$, $\,-2a_0\!-\!a_1$, $\,-a_0\!-\!a_1$, $\,a_0$, $\,a_1$.
Hay otros cuatro casos a los que no debemos considerar, ya que son espejo simétrico para los casos de dos a cinco arriba.
Cuántos casos hay? Cinco más cuatro. Que nueve!
Enumeremos los nueve casos.
$(1)\,$ $\,x\leq 0\,$ y $\,y\leq 0\,$.
$(2)\,$ $\,0\leq x\leq y\leq 2x\,$.
$(3)\,$ $\,0\leq y\leq x\leq 2y\,$.
$(4)\,$ $\,0\leq 2x\leq y\,$.
$(5)\,$ $\,0\leq 2y\leq x\,$.
$(6)\,$ $\,x\leq 0\leq y\,$ y $\,x+y\geq 0\,$.
$(7)\,$ $\,y\leq 0\leq x\,$ y $\,x+y\geq 0\,$.
$(8)\,$ $\,x\leq 0\leq y\,$ y $\,x+y\leq 0\,$.
$(9)\,$ $\,y\leq 0\leq x\,$ y $\,x+y\leq 0\,$.
Los casos no son mutuamente excluyentes, pero esto no afecta el resultado siguiente (demostrarlo):
La asignación de $(x,y)\to(y,\,\left|y\right|\!-\!x)$ mapas de una parte de la $xy$-plano que corresponde a uno de los casos $(1)$--$(9)$ en la parte que corresponde a otros casos, en el siguiente orden cíclico: $(1)\to(6)\to(2)\to(5)\to(9)\to(8)\to(4)\to(3)\to(7)\to(1)$.
Todavía tenemos que demostrar que a partir de cualquier punto, a continuación, aplicar el mapa de nueve veces en una fila, vamos a llegar de vuelta precisamente en ese punto, y no sólo en algún punto de la parte del plano, correspondiente a uno de los casos, que contiene el punto de partida. Pero ahora basta considerar sólo un caso en que el punto de partida pertenece: se elige un punto que satisface la condición de que el caso de $(1)$, dicen, y luego de perseguirlo por todo el camino, encontrando que terminamos en el punto elegido.
Es esto lo suficientemente elegante?
[Añadido después de que los dos comentarios sobre la (no)elegancia.]
Yo reclamo que debemos conocer, de alguna manera, en los casos $(1)$--$(9)$ si queremos tener una comprensión clara de la $9$-el comportamiento periódico de la secuencia de $(a_n)\,$: los nueve casos están en el corazón de la $9$-periodicidad, que conforman su estructura.
Denotar por $T$ la asignación de $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ que hemos introducido anteriormente: $T(x,y) = (y,\,\left|y\right|\!-\!x)$. A continuación,$T(a_{n-1},a_n)=(a_n,a_{n+1})$, que es precisamente la razón por la que se introdujo la transformación de $T$. El hecho de que la secuencia de $(a_n)$ puede ser recurrente producida hacia atrás significa que la transformación de $T$ es invertible, y de hecho, $T^{-1}(x,y) = (\left|x\right|\!-\!y,\,x)$.
La parte del avión $\mathbb{R}^2$ correspondiente para el caso de $(1)$ es la parte inferior izquierda del cuadrante (el tercer cuadrante), denota por $Q$. Ahora mirar las partes $T^k Q$, $0\leq k\leq 8\,$:
(La enumeración es por $k$$T^k Q$, no por el ad hoc número de caso. Usted puede disfrutar de la identificación de los casos correspondiente a la $T^k Q$.)$\,$
La transformación de $T$ aparece como una muy desigual por tramos lineales intento de darse cuenta de que la idea de "girar a la derecha por dos novenos de la vuelta completa".
Y con la figura delante de nuestras narices vemos claramente que, a $T^9$ es la identidad de la transformación del avión $\mathbb{R}^2$, que expresa en un solo aliento de la $9$-periodicidad de todas las posibles secuencias de $(a_n)$ generado por el dado de la recurrencia de la relación.
[Añadido algunos días más tarde.]
Sería sumamente aburrido problema que no podía inspirar a más problemas.
La recurrencia dada en la presente cuestión no es de la aburrida clase,
tiene un interesante primo:
\begin{equation*}
a_{n+1} \,=\, \mathrm{sgn}(a_n) - a_{n-1}~, \qquad n\in\mathbb{Z}\,.
\end{ecuación*}
(El $\mathrm{sgn}(x)$ es el signo de un número real $x$:
es $1$ si $x>0$ $0$ si $x=0$, $-1$ si $x<0$.)
Como la original de recurrencia, esta recurrencia funciona también al revés: $a_{n-1}=\mathrm{sgn}(a_n)-a_{n+1}$. Y como la original de recurrencia, cada secuencia $(a_n)$ que produce es periódica; la diferencia es que no hay un periodo común, porque no existen secuencias que han arbitrariamente grandes períodos. Así que la solución de esta recurrencia ofrece mucho más divertido. Otra diferencia es que esta vez tenemos a una simple explicación de la periodicidad. He aquí una sugerencia.
Definir la transformación de $U\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$U(x,y):=(y,\,\mathrm{sgn}(y)\!-\!x)$. A continuación, para cada entero $m\geq 1$ la transformación de $U$ induce un bijection $U_m\colon S_m\to S_m$ donde $S_m$ el (cerrado) establecer
El bijection $U_m$ no es continua, se tiene una discontinuidad a lo largo del segmento de la línea de $L_m$ con extremos de $(-m,0)$$(m,0)$. Sin embargo, las restricciones de $U_m$ para el segmento de la línea de $L_m$ así como para cada uno de los dos componentes conectados de $S_m\setminus L_m$ son isometrías. El bijection $U_m$ induce permutaciones de $2$-células en $S_m$ (la unidad de plazas), de $1$de las células (la unidad de segmentos de línea, los lados de los cuadrados), y de $0$-células (los puntos de los vértices de los cuadrados); esto implica finito de períodos. Usted puede disfrutar de la determinación de los períodos de secuencias de $(a_n)$ generados por particulares puntos de $(a_0,a_1)\in\mathbb{R}^2$.
