La tasa a la que aumenta el valor de un integral definida

Question

Decir que tenía una función $f(x) = x^2$, cómo podría encontrar la tasa en que $$\int_{0}^{a}{x^2dx}$$ increases for $ a$, o más generalmente para cualquier función.

¿Además, es equivalente a $\frac{d}{da}f(x)$?

Answer 1

Usar el hecho de que

$$\int_{0}^{a}{x^2dx}=\frac{1}{3}a^3$$

Más generalmente,

$$\frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)}{f(x)dx}=\frac{d}{dt}(F(b(t))-F(a(t)))=b'(t)f(b(t))-a'(t)f(a(t))$$

donde $F(t)$ es el anti-derivado de $F$, es decir, $F'=f$. Tenga en cuenta que no es necesario saber $F$ para calcular la derivada de una integral con diferentes límites con respecto a la variable $t$.