Soluciones a la medida!

Question

Tenemos

$$ F(x,y)= \frac{Q}{x} \frac{\partial P}{\partial x} - \frac{P}{x} \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{Q}{y} \frac{\partial P}{\partial y} + \frac{P}{y} \frac{\partial Q}{\partial y} $$

donde

$$P = \sum_{i=1}^{N}(a_i x + b_i y)^2 $$ $$Q = \sum_{i=1}^{N}(c_{i} x + d_{i} y)^2$$

y $a_i, b_i, c_{i}, d_{i}$ son constantes los parámetros definidos para $1\leq i,j \leq N$.

Queremos encontrar las soluciones de la ecuación de $F(x,y)=0$. Para un caso más sencillo, donde $P$ se define como el anterior y $Q=1$, mediante un cambio de variable $m=\frac{y}{x}$, obtenemos una ecuación cuadrática para $m$ que podría resolverse simplemente y dar las dos soluciones para $m$. Me pregunto si con el mismo cambio de variable, se podría obtener las soluciones para el caso más general (con $Q$ de la forma indicada más arriba o similares).

Algunos antecedentes: $x,y$ están las coordenadas de un punto en un espacio de dos dimensiones y definir una línea que pasa a través de $(x,y)$ y el origen $(0,0)$. $P$ y $Q$ son derivados de la proyección de algunos otros de los puntos en esta línea. El uso de $m=y/x$ tiene sentido, ya que las proyecciones sólo depende de la pendiente de la línea y no los valores reales de a $(x,y)$. Nuestro objetivo es encontrar la línea (que se define por su pendiente $m$) que satisface $F(x,y)=0$.

EDIT: Este problema es el caso especial de un problema más general para encontrar la asignación de un $N$ espacio tridimensional a una $M$ espacio tridimensional que minimice la suma de las distancias de los pares de puntos similares ($P$) normalizado a la suma de las distancias de los pares de distintos puntos de ($Q$). La solución que se dio aquí lo soluciona para la asignación de 2D 1D. También he publicado una nueva pregunta para el caso de asignación de 3D a 1D aquí, que espero que se pueda resolver de una manera similar.

Answer 1

Con la ayuda de Mathematica vino a esta respuesta:

$F(x,y)=0$ $m= \frac{y}{x} = \frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$

donde

$A = (\sum_{i=1}^{N}bi^2)(\sum{i=1}^{N}c_i di)-(\sum{i=1}^{N}di^2)(\sum{i=1}^{N}a_i b_i)$

$B = (\sum_{i=1}^{N}bi^2)(\sum{i=1}^{N}ci^2)-(\sum{i=1}^{N}ai^2)(\sum{i=1}^{N}d_i^2)$

$C = (\sum_{i=1}^{N}ci^2)(\sum{i=1}^{N}a_i bi)-(\sum{i=1}^{N}ai^2)(\sum{i=1}^{N}c_i d_i)$

¿Alguna idea para una derivación simple, verificación o interpretación?

Answer 2

Recordemos que una función $f$ de dos variables es homogénea de grado $k$si $$ \forall \lambda > 0, \quad f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^k f(x,y); $$ (la dirección fácil de) de Euler homogénea teorema de la función, se sigue que $$ (x\partial_x +y\partial_y)f = kf, $$ que, en términos de coordenadas polares $(r,\theta)$, puede escribirse como $$ r\partial_rf = kf. $$ Ahora, supongamos, por simplicidad, que el $P > 0$. Observar que $R := \frac{Q}{P}$ es homogénea de grado $0$, por lo que el $r\partial_r R = 0$, y que, por ende, $R = f(\theta)$ para algunos la función $f$ de una sola variable. Como resultado, desde $$ F = \frac{P(x,y)^2}{xy} \cdot (y\partial_x - x\partial_y)R = -\frac{P}{xy} \cdot \partial_\theta R = -\frac{P}{xy} \cdot f^\prime(\theta), $$ de ello se desprende que $F(x,y) = 0$ si y sólo si $f^\prime(\theta(x,y)) = 0$, es decir, que el conjunto solución de a $F(x,y) = 0$ es la unión de todos los rayos de la forma $\theta(x,y) = \theta_0$ donde $\theta_0$ es un cero de $f^\prime$. En particular, si se restringen al primer cuadrante $x, y > 0$, la ecuación de $F(x,y) = 0$ es equivalente a la ecuación $$ f^\prime\left(\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right) = 0. $$

Para cortar una larga historia corta, si $P > 0$ $Q$ son homogéneos del mismo grado, y si sólo estás preocupado con el primer cuadrante $x,y > 0$, luego $$ \partial_\theta \left(\frac{Q}{P}\right)(x,y) = (-y\partial_x+x\partial_y)\left(\frac{Q}{P}\right)(x,y) = g(y/x) $$ para algunos la función $g$ de una variable, en cuyo caso la ecuación de $F(x,y) = 0$ se reduce a la ecuación $$ g(m) = 0 $$ para $m = \frac{y}{x}$.