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Question

$$ \lim_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x^2}} - {\frac{1} {\sin^2 x} }\right) $$

Usando la regla de L'Hospital obtuve el valor -1/4 pero la respuesta se da a -1/3. No encuentro el error. Esto es lo que hice, por favor señalar el error

Answer 1

Por l'Hopital tenemos

$$\lim{x \to 0}\frac{1}{x^2} - \frac{1} {\sin^2 x} =\lim{x \to 0}\frac{\sin^2 x-x^2}{x^2\sin^2 x}$$

$$\stackrel{H.R.}=\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x-2x}{2x\sin^2 x+x^2\sin 2x }$$

$$\stackrel{H.R.}=\lim_{x \to 0}\frac{2\cos 2x-2}{2\sin^2 x+2x\sin 2x+2x\sin 2x +2x^2\cos 2x}$$

$$\stackrel{H.R.}=\lim_{x \to 0}\frac{-4\sin 2x}{2\sin 2 x+8x\cos 2x+4 \sin 2x+4x\cos 2x-4x^2\sin 2x}$$

$$\stackrel{H.R.}=\lim_{x \to 0}\frac{-8\cos 2x}{12\cos 2 x+8\cos 2x-16x \sin 2x-8x\sin 2x+4\cos 2x-8x\sin 2x-8x^2\cos2x}$$

$$=\lim_{x \to 0}\frac{-8\cos 2x}{24\cos 2 x-32x \sin 2x-8x^2\cos2x} =\frac{-8}{24-0-0}=-\frac13$$

Answer 2

Sugerencia: Escribir la función como $$\frac{\sin^2(x)-x^2}{x^4}\times \frac{x^2}{\sin^2(x)}$ $ de lo contrario usar Expansion de Talor si sabes.

Answer 3

Como una alternativa de expansión de Taylor como $x\to 0$

$$\sin x = x -\frac16x^3 + o(x^3)\implies \sin^2 x = \left(x -\frac16x^3 + o(x^3)\right)^2=x^2-\frac13x^4+o(x^4)$$

Tenemos

$$\frac{1}{x^2} - \frac{1} {\sin^2 x} =\frac{\sin^2 x-x^2}{x^2\sin^2 x}=\frac{x^2-\frac13x^4+o(x^4)-x^2}{x^2\left(x^2-\frac13x^4+o(x^4)\right)}=$$$$=\frac{-\frac13x^4+o(x^4)}{x^4+o(x^4)}=\frac{-\frac13+o(1)}{1+o(1)} \to-\frac13$$

Answer 4

$$\lim{x \to 0} \left( {\frac{1}{x^2}} - {\frac{1} {\sin^2 x} }\right)=\lim{x \to 0}\frac{\sin^2 x-x^2}{x^2\sin^2 x}=\lim{x \to 0}\frac{(\sin x-x)(\sin x+x)}{x^4}$$ $$=\lim{x \to 0}\frac{(\sin x+x)}{x}\lim{x \to 0}\frac{x(\sin x-x)}{x^4}=\lim{x \to 0}\frac{2x(\sin x-x)}{x^4}=\lim{x \to 0}\frac{2(\sin x-x)}{x^3}$$ $$=\lim{x \to 0}\frac{2(\cos x-1)}{3x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{-2\sin x}{6x}=\frac{-1}{3}.$$

Answer 5

Mi forma preferida es centrarse en un plazo de tiempo, romper los cálculos, ni siquiera de un plazo en partes más pequeñas y centrándose en cada parte por separado. Por no combinar todos los términos en una gran ecuación puede evitar errores. También si se comete un error en algún lugar, más fácil de detectar y corregir. Por lo tanto, vamos a empezar con la expansión de sólo el término que involucra $\sin(x)$. El uso de la expansión de Taylor:

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} +\mathcal{O}(x^7)$$

Aquí me he tomado incluye más términos de los que yo sé que lo necesita, con menos experiencia que usted puede no saber cómo muchos de los términos que usted necesita. Muy pocos términos conducirá a una respuesta de la forma $\mathcal{O}(1)$, lo que significa que la información acerca de la respuesta es la de los términos que no se incluyen. Nosotros, a continuación, expanda $\dfrac{1}{\sin^2(x)}$:

$$\frac{1}{\sin^2(x)} = \frac{1}{x^2}\left[1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} +\mathcal{O}(x^6)\right]^{-2}$$

Para ampliar los corchetes, podemos usar:

$$\frac{1}{(1+u)^2} = 1-2 u + 3 u^2 + \mathcal{O}(u^3)$$

Esto puede ser derivada por la diferenciación de la serie geométrica de término por término. A continuación, podemos sustituir $u = - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} +\mathcal{O}(x^6)$. Tenemos:

$$u^2 = \left[- \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} +\mathcal{O}(x^6)\right]^2 = \frac{x^4}{36} +\mathcal{O}(x^6)$$

Por lo tanto:

$$\frac{1}{1+u}= 1-2 u + 3 u^2 +\mathcal{O}(u^3)= 1 + \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{15} +\mathcal{O}(x^6)$$

Y vemos que:

$$\frac{1}{\sin^2(x)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{3} + \frac{x^2}{15} +\mathcal{O}(x^4)$$

El límite deseado, a continuación, se sigue inmediatamente. Porque hemos mantenido un plazo adicional, se pueden calcular más complejo de los límites que involucran por ejemplo, $\dfrac{1}{\sin^4(x)}$ elevando al cuadrado ambos lados de esta expansión, como:

$$\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\sin^4(x)}-\frac{1}{x^4} - \frac{2}{3 x^2}\right]= \frac{11}{45}$$