soluciones enteras positivas de $x^3+y^3=3^z$

Question

Busco todas las soluciones enteras positivas de la ecuación $x^3+y^3=3^z$ .

Después de hacer números, creo que no hay soluciones. Pero no puedo demostrarlo.

Intento

Si $x$ y $y$ tienen un divisor común $d$ tenemos $d^3(m^3+n^3)=3^z$ . Así que $d$ debe ser un poder de $3$ y volvemos al punto de partida. Así que asumimos $x$ y $y$ son coprimos.

Probando la paridad, tenemos que la suma de 2 cubos es impar. WLOG, podemos suponer $x$ es par y $y$ es impar.

Probando el mod $3$ tenemos $x+y=0 \pmod 3$ . Desde $x$ y $y$ son coprimos, $x$ y $y$ debe ser congruente con $1$ y $-1$ o viceversa.

Si asumo $x=3m+1$ y $y=3n-1$ Si se amplía y se simplifica, obtengo $27(m^3+n^3)+27(m^2-n^2)+9(m+n)=3^z$ . Si asumo $z \geq 3$ Esto da como resultado $(m^3+n^3)+(m^2-n^2)+\frac{m+n}{3}=3^{z-3}$ . Pero no veo cómo proceder.

También he probado el mod $9$ pero no llegó a nada, no redujo mucho las posibilidades.

También intenté dejar que $y=x+r$ . Entonces \begin{align*} x^3+y^3 &= x^3+(x+r)^3 \\ &= x^3 + (x^3+3x^2r+3xr^2+r^3) \\ &= 2x^3+3x^2r+3xr^2+r^3 \\ &= 3^z \end{align*}

Entonces $3\mid 2x^3+3x^2r+3xr^2+r^3$ y $3\mid 3x^2r+3xr^2$ , por lo que esto implica $3 \mid 2x^3+r^3$ . Pero esto no produce ninguna contradicción.

¿Puede alguien aportar una prueba? O si mi hipótesis es errónea, ¿cómo derivar todas las soluciones enteras?

Gracias.

Answer 1

$27(m^3+n^3) +27(m^2-n^2) + 9(m+n) = 3^z$

$(m+n)(3m^2 +3n^2-3mn+3m-3n+1) = 3^{z-2}$

desde $z \ne 2$ tenemos $3(m^2 +n^2-mn+m-n)+1$ divide una potencia de $3$ o es igual a $1$ , lo cual no es posible.

Answer 2

Ya has demostrado que podemos asumir que $x,y$ son relativamente primos.

Podemos encontrar fácilmente una solución para $n\leq 2$ . Sea $n\geq 3$ .

Así que $x+y = 3^a$ y $x^2-xy+y^2=3^b$ para algunos enteros no negativos $a+b=n$ .

Si $b\geq 2$ entonces $9\mid x^2-xy+y^2$ y $3\mid x+y$ Así que $$9\mid (x+y)^2-(x^2-xy+y^2)=3xy\implies 3\mid xy$$ Una contradicción. Así que $b\leq 2$ y esto debería ser fácil de hacer.

Answer 3

Solución por LTE, dejemos $d=(x,y)>1$ , $x=dx_1$ , $y=dy_1$ , $(x_1,y_q)=1$ entonces $$d^3\mid x^3+y^3=3^z$$ entonces $d\mid 3^a$ para un número entero positivo $a<z/3$ . Dividiendo por $d^3$ obtenemos $x^3_1+y^3_1=3^b$ para un número entero positivo $b=z-a$ . Esta es una ecuación similar a la original, entonces podemos asumir $(x,y)=1$ . Si $3\nmid x+y$ entonces $x+y=1$ una contradicción. Entonces tenemos todas las condiciones para utilizar la LTE: $$v_3(x^3+y^3)=v_3(x+y)+v_3(3)=v_3(x+y) +1=v_3(3^z)=z$$ De aquí concluimos que $x+y=3^{z-1}$ esto implica que $x^2-xy+y^2=3$ , $(x-y)^2+xy=3$ , si $|x-y|\ge 2$ tenemos una contradicción, entonces hay dos casos: El caso 1. $|x-y|=0$ esto no es posible debido a $x$ y $y$ son coprimas y $x+y>2$ . Caso 2. $|x-y|=1$ que implica $xy=2$ con soluciones $(x,y)=(2,1)$ o $(1,2)$ , lo que implica $3^{z-1}=2+1\Rightarrow z=2$ .

Entonces las soluciones de la ecuación original son: $(x,y,z)=(3^k,2\cdot 3^k,3k+2)$ o $(2\cdot 3^k, 3^k,3k+2)\forall k\in \mathbb{N}$ .