¿Se pueden componer "relaciones" entre espacios topológicos?

Question

(En lo que sigue, $\Omega = \{0,1\}.$)

En la teoría de conjuntos, podemos definir que una relación $X \rightarrow Y$ es una función de $X \rightarrow \mathcal{P}(Y)$. Este es el mismo como un subconjunto de a $X \times Y$, por el siguiente argumento. $$\mathcal{P}(X \times Y) \cong \Omega^{X \times Y} \cong (\Omega^Y)^X \cong \mathcal{P}(Y)^X$$

Resulta que las relaciones pueden ser compuestos, y son bastante útiles. Yo estaba pensando en preparar algo similar en el mundo de los espacios topológicos. Definir que una relación $X \rightarrow Y$ es una gavilla en $X$ valorado en el topos $\mathrm{Sh}(Y)$. No estoy muy seguro de por qué estoy definir esto, pero tengo la esperanza de que podría haber una conexión para varios valores-funciones.

No estoy seguro de si este es el mismo como una gavilla por primicia de los conjuntos en $X \times Y$.

Anyhoo:

Pregunta. Puede "relaciones" entre espacios topológicos estar compuesto?

Answer 1

Sí. Me voy a tomar la definición de ser una gavilla en $X \times Y$, aunque creo que $\text{Sh}(Y)$valores de gavilla en $X$ es equivalente. Si $F \in \text{Sh}(X \times Y)$ es una gavilla y $G \in \text{Sh}(Y \times Z)$ es una gavilla, a continuación, su composición $F \circ G \in \text{Sh}(X \times Z)$ está dado por

1. tomando el producto externo $F \boxtimes G \in \text{Sh}(X \times Y \times Y \times Z)$,
2. tirando hacia atrás a lo largo de la diagonal mapa de $\Delta : Y \to Y \times Y$, luego
3. empujando hacia adelante a lo largo del mapa $Y \to \text{pt}$.

Este es un categorification de similar receta para la composición de transformaciones lineales $V \to W$, considerado como elementos de $V^{\ast} \otimes W$, por primera toma externa de tensor de productos y, a continuación, realizar un seguimiento en el interior. La composición de las relaciones también puede ser entendido de esta manera.

La palabra clave general de las construcciones de este formulario es "integral se transforma en gavillas" aunque normalmente se hace por poleas en los esquemas (como en las transformadas de Fourier-Mukai transformar); véase, por ejemplo, la nLab.