Muestre que$\frac{3^n}{n!}$ converge a$0$

Question

Me preguntaba si esta prueba es correcta.

ps

Entonces,$$\left|\frac{3^n}{n!} - 0\right| = \frac{3^n}{n!} \lt \frac{3^n}{2^n} \lt \varepsilon$ $$$\frac{2^n}{3^n} \gt \frac{1}{\varepsilon}$ $$$\left(\frac{2}{3}\right)^n \gt \frac{1}{\varepsilon}$ $$$\log\left(\frac{2^n}{3^n}\right) \gt \log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)$ $$$n\log\left(\frac{2}{3}\right) \gt \log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)$ $

Entonces cualquier$$n \gt \log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)/\log\left(\frac23\right)$% produce el resultado que queremos, de modo que para todo$N \gt \log(\frac1\varepsilon)\log(\frac23)$

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Sugerencia :
Puedes usar el principio de exprimir :

Establecer$u_n=\dfrac{3^n}{n!}$. Muestre que$\;\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le\dfrac34$ para todos$n\ge 3$. Deduce ese$$u_n\le \Bigl(\frac34\Bigr)^{n-3}u_3\enspace\text{ for all }\;n\ge 3.$ $

Answer 2

Usted puede modificar su argumento de la siguiente manera:

Se puede suponer que la $n \geq 4$ porque cambiar los términos de una secuencia no afecta a su convergencia o el valor de la convergencia.

Entonces

$$\left|\frac{3^n}{n!} - 0\| derecha = \frac{3^n}{n!} =\frac{27}{3\times 2\times 1} \frac{3^{n-3}}{n \times(n-1)\times\cdots\times 4}\lt 5 \times \frac{3^{n-3}}{4^{n-3}} \lt \varepsilon$$ Ahora a reescribir su propio argumento para terminar la prueba:

$$(\frac{3}{4})^{n-3} < \frac{\varepsilon}{5}$$ $$\ln(\frac{3}{4})^{n-3} < \ln\frac{\varepsilon}{5}$$ $$(n-3)\ln(\frac{3}{4}) < \ln\frac{\varepsilon}{5}$$ $$n \geq \lceil \ln\left(\frac{\varepsilon}{5}\right)/\ln\left(\frac{3}{4}\right) \rceil + 3$$

donde $\lceil \cdot \rceil$ denota el techo de la función.

Answer 3

Aquí está una primaria prueba de que no requiere llevar la función de registro en la imagen.

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Set $u_n=\dfrac{3^n}{n!}$. Observar que $u_0 = 1$, $u_1 = 3$ y $u_2 = 4.5$. Pretendemos que para cada $n \ge 0$,

$\tag 1 |u_n| \le 4.5$

Si no, entonces vamos a $k$ ser el entero más pequeño tal que $|u_k| \gt 4.5$. Ahora $k$ debe ser mayor que $2$ y podemos escribir $u_k = u_{k-1} \, \dfrac{3}{k}$, de modo que $u_k \le u_{k-1}$. Pero esto da una contradicción ya que el $u_{k-1} \le 4.5$.

Por lo $\text{(1)}$ siempre es cierto. Deje $\varepsilon \gt 0$ ser dado y deje $n \gt 0$, de modo que

$n \gt \frac{13.5}{\varepsilon} \text{ implies }$

$(4.5) \, \frac{3}{n} \lt \varepsilon \text{ implies }$

$ u_{n-1} \, \frac{3}{n} \lt \varepsilon \text{ implies }$

$ u_n \lt \varepsilon$

Answer 4

Aquí hay otra vista posible. Tienes $$ \ frac {3 ^ n} {n!} = \ Frac31 \, \ frac32 \, \ overbrace {\ frac33 \ frac34 \ cdots \ frac3 {n-1}} ^ {\ text {cada uno de estos es como máximo 1}} \, \ frac3n \ leq \ frac92 \ times1 \ times \ frac3n = \ frac {27} {2n} \ leq \ frac {14} n. $$ Entonces, si$n>14/\varepsilon$, obtenemos$3^n/n!<\varepsilon$.

Esto logra una estimación más fácil, a costa de ocultar el hecho de que la secuencia converge mucho más rápido.