Triángulo rectángulo inscrito en un cuadrado. ¿Encuentra el área del cuadrado?

Question

Espero que sea válido pedir "una solución más ordenada" de un problema en esta red, a pesar de que no tengo una definición estricta de la palabra "ordenada".

Aquí está el cuadrado y el triángulo rectángulo inscrito en él.

Hice lo siguiente: $$AC = Ah + hB$$ $$4\sin\theta = 4\cos\theta + 3\sin\theta$$ Entonces $$\tan\theta = 4$$ Pero $$\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}$$ Por lo tanto $$AC = 4\sin\theta = \frac{16}{\sqrt {17}}$$ $$\text{Área} = \left(\frac{16}{\sqrt {17}}\right)^2$$

Answer 1

Sin usar trigonometría:

disfruta...

Al colorear los triángulos de la misma manera estoy tratando de enfatizar los triángulos similares, que no son necesariamente iguales (aunque los triángulos rojos y azules lo son). No estoy diciendo que los triángulos del mismo color tengan la misma área, ten cuidado.

Answer 2

Creo que tu forma es buena, pero no necesitamos encontrar $\tan\theta$.

Desde $4\sin\theta=4\cos\theta+3\sin\theta$, tenemos $$\sin\theta=4\cos\theta$$ Al elevar ambos lados al cuadrado obtenemos $$\sin^2\theta=16(1-\sin^2\theta)$$ de lo cual podemos obtener $$\sin^2\theta=\frac{16}{17}\quad\Rightarrow\quad \text{(área)}=16\sin^2\theta=\frac{16^2}{17}$$

Answer 3

Aquí hay otra forma. Los triángulos AhC y Bhf son similares. Si colocas $Bh=x$ y $Bf=y$ obtienes las relaciones $$x+\frac{4}{3}y=\frac{4}{3}x$$ $$9=x^2+y^2$$ A partir de lo cual puedes obtener la longitud del lado y luego el área

Answer 4

Aquí hay otra forma de hacerlo.

Después de descubrir que $\tan \theta = 4$, todos los segmentos de línea pueden entonces ser expresados en términos de k con Ah = 1k como inicio.

Encuentra el valor de $k^2$ a partir de $$16k^2 - \triangle amarillo - \triangle verde - \triangle azul = \triangle rojo = \dfrac {3 \times 4}{2}$$

El área requerida sigue.

Answer 5

Quería hacer de este un comentario, pero mi reputación no es lo suficientemente alta. Creo que tu forma es la mejor y en realidad es bastante inteligente. Tu fórmula tiene un error tipográfico (olvidaste elevar al cuadrado la tangente en el denominador. $$\sin(\theta)=\frac{\tan(\theta)}{\sqrt{1+\tan^2(\theta)}}$$

Esta fórmula se puede derivar fácilmente considerando un triángulo rectángulo con catetos $\tan(\theta)$ y $1$ (y por lo tanto hipotenusa $\sqrt{1+\tan^2(\theta)}$. Eso será cierto para todos los triángulos rectángulos por la definición de tangente.