Dónde esta serie converge $1+\frac{1+2}{2!}+\frac{1+2+3}{3!}+\cdots$

Question

Considere las siguientes series,

$$1+\frac{1+2}{2!}+\frac{1+2+3}{3!}+\cdots$$

Mis esfuerzos

La serie puede ser escrita en compactos para como,

$$\sum_{n=1}^{\infty}{n(n+1)\over 2n!}$$

$$={1\over 2}(\sum{n=1}^{\infty}{n^2\over n!}+\sum{n=1}^{\infty}{n \over n!})$$ $$={1\over 2}(\sum{n=1}^{\infty}{n^2\over n!}+\sum{n=1}^{\infty}{1 \over (n-1)!})$$

$$\sum{n=1}^{\infty}{1 \over (n-1)!}=1+1+{1\over 2!}+{1\over 3!}+\cdots=e$ $ Primer sumando puede simplificarse como ahora, $$\sum{n=1}^{\infty}{n \over (n-1)!}$ $

¿Pero donde convergen? ¿Cualquier sugerencias?

Edit: Gracias por todas las respuestas rápidas. Ahora me doy cuenta de que era tan fácil. Tuve que utilizar el % de $n=n-1+1$.

Answer 1

Sugerencia:

$ \sum{n=1}^{\infty}{n \over (n-1)!} = \sum{n=1}^{\infty}{n - 1 + 1 \over (n-1)!} $$

$$ = \sum{n=2}^{\infty}{1 \over (n-2)!} + \sum{n=1}^{\infty} {1 \over (n-1)!} $$

Answer 2

\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}{n(n+1)\over 2n!} &= \sum_{n=1}^{\infty}{n-1+2\over 2(n-1)!} \\ &= \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{2(n-2)!}+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!} \\ &= \dfrac{1}{2}e+e \\ &= \color{blue}{\dfrac{3}{2}e} \end{align}

Answer 3

Sugerencia: $\sum_{k=1} \frac{n^2}{n!} x^n =e^x (x^2 + x)$.

Esto puede ser probado fácilmente teniendo en cuenta la expansión de Taylor de $e^x$, multiplicando y haciendo el cambio de variable.

Answer 4

Para mí, la serie se resume como %#% $ #% en su lugar! Ahora, utilizar la prueba de razón.

Answer 5

Sugerencia: cuando $n\geq 2$, $$\frac{n } {(n-1)!}=\frac{n-1+1}{(n-1)!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}$ $