Ceros consecutivos en la representación binaria de $\sqrt{3}$

Question

$\sqrt3=1.b_1b_2...$es la representación binaria de $\sqrt3$.

es decir, $\sqrt3=1+\dfrac{b_1}{2^1}+\dfrac{b_2}{2^2}+...$

Demostrar que al menos uno de los dígitos $b_n,b_{n+1},...,b_{2n}$ es 1.

mi intento:

Plaza de los dos lados: $$\left(1+\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i}{2^i}\right)^2=3$$ Ampliar y restar $1$ desde ambos lados $$2\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i}{2^i}+\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i^2}{2^{2i}}=2$$ dividir ambos lados por 2 $$\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i}{2^i}+\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i^2}{2^{2i+1}}=1$$ Ordenar $$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{2^i}\left(b_i+\frac{b_i^2}{2^{i+1}}\right)=1$$ Lema: $\displaystyle\sum_{i=m}^\infty\frac{1}{2^i}\left(1+\frac{1}{2^{i+1}}\right)<\frac{1}{2^{m-2}}$

Prueba: se multiplican ambos lados por $2^{m-1}$ $$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{2^i}+\frac{1}{2^{m+1+i}}<2$$ que es trivial para cualquier entero positivo m.

Proceder a la prueba por contradicción: supongamos $b_n,b_{n+1},...b_{2n}$ son todos iguales a $0$. A continuación, la suma de $\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{2^i}\left(b_i+\frac{b_i^2}{2^{i+1}}\right)$ es en forma de $1-\frac{x}{2^{2n-1}}$.

Pero $$\sum_{i=2n+1}^\infty\frac{1}{2^i}\left(b_i+\frac{b_i^2}{2^{i+1}}\right)<\frac{1}{2^{2n-1}}$$ lema.

Q. E. D.

Es esto una prueba de la correcta? También estoy feliz por una alternativa (y esperemos que más corto) solución.

Answer 1

La falla en la prueba se señaló en los comentarios, así que permítanme mostrarles mi enfoque

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Suponga $\sqrt 3$ tiene todos los dígitos $b_i=0$ $i\in\{n,...,2n\}$ (estas son las $n+1$ dígitos). Escribir

$$\sqrt 3\cdot 2^{n-1}=N + \epsilon= b_1\cdots b_{n-1}.\underbrace{0\cdots0}_{n+1}b_{2n+1}\cdots$$

donde $N=b_1\cdots b_{n-1}\in\Bbb N$ es la parte entera, y $\epsilon=0.b_{n}b_{n+1}\cdots\in(0,1)$ es la parte fraccionaria (que es stricly positivo, debido a la irracionalidad de la $\sqrt{3}$). Tenemos $N< 1.8\cdot 2^{n-1}$ ($1.8$áspero de un límite superior para $\sqrt 3$). Además, $\epsilon$ debe tener ceros como el primer $n+1$ dígitos $b_n,...,b_{2n}$. Por lo que el valor más grande posible es

$$\epsilon \le 0.\underbrace{0\dots0}_{n+1}\overline 1=0.\underbrace{0\cdots 0}_n1=\frac1{2^{n+1}}$$

Ahora observar que

$$\underbrace{3\cdot 2^{2n-2}}_{\text{integer}}=(\sqrt 3\cdot2^{n-1})^2=N^2+2N\epsilon+\epsilon^2.$$

El lado izquierdo es un número entero, y así es $N^2$. Tenga en cuenta que $0<2N\epsilon< 0.9$. Y por último, desde el $\epsilon^2<1/2^{2n+2}<0.1$, no podemos cerrar la brecha para hacer la parte derecha de un número entero.