$\sqrt3=1.b_1b_2...$es la representación binaria de $\sqrt3$.
es decir, $\sqrt3=1+\dfrac{b_1}{2^1}+\dfrac{b_2}{2^2}+...$
Demostrar que al menos uno de los dígitos $b_n,b_{n+1},...,b_{2n}$ es 1.
mi intento:
Plaza de los dos lados: $$\left(1+\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i}{2^i}\right)^2=3$$ Ampliar y restar $1$ desde ambos lados $$2\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i}{2^i}+\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i^2}{2^{2i}}=2$$ dividir ambos lados por 2 $$\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i}{2^i}+\sum_{i=1}^\infty\frac{b_i^2}{2^{2i+1}}=1$$ Ordenar $$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{2^i}\left(b_i+\frac{b_i^2}{2^{i+1}}\right)=1$$ Lema: $\displaystyle\sum_{i=m}^\infty\frac{1}{2^i}\left(1+\frac{1}{2^{i+1}}\right)<\frac{1}{2^{m-2}}$
Prueba: se multiplican ambos lados por $2^{m-1}$$$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{2^i}+\frac{1}{2^{m+1+i}}<2$$que es trivial para cualquier entero positivo m.
Proceder a la prueba por contradicción: supongamos $b_n,b_{n+1},...b_{2n}$ son todos iguales a $0$. A continuación, la suma de $\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{2^i}\left(b_i+\frac{b_i^2}{2^{i+1}}\right)$ es en forma de $1-\frac{x}{2^{2n-1}}$.
Pero $$\sum_{i=2n+1}^\infty\frac{1}{2^i}\left(b_i+\frac{b_i^2}{2^{i+1}}\right)<\frac{1}{2^{2n-1}}$$lema.
Q. E. D.
Es esto una prueba de la correcta? También estoy feliz por una alternativa (y esperemos que más corto) solución.
