¿Cuántos cartones de bingo maliciosos hay?

Question

Considere una forma flexible de bingo, donde cada casilla contiene una condición y usted marca si la condición se aplica a usted o no. El número de bingos que se obtiene mide ostensiblemente el grado en que se satisface el tema del cartón de bingo. Yo, un autómata sin alma, he deducido que estos son comúnmente compartidos como imágenes en las redes sociales como formas de vinculación sobre las preferencias compartidas.

Supongamos que, en mi misantropía robótica puramente hipotética, quisiera construir un cartón de bingo estándar (5x5 con un espacio libre en el centro) en el que no fuera posible ningún bingo (vertical, horizontal o diagonal). Para ello, en cada línea de bingo posible, coloque un par de casillas que no puedan satisfacerse simultáneamente, como "alto" y "bajo". Doce bingos posibles exigen doce de estos pares de casillas, y por suerte hay 24 casillas utilizables en un cartón de bingo estándar.

Este es un ejemplo de un cartón de bingo malicioso, en el que se utilizan las letras de la A a la L para indicar las parejas:

AABCD
EEBCD
FG_HH
FIJKJ
IGLLK

¿Cuántos cartones de bingo maliciosos hay? ¿Existe una forma humana de contarlos, o hay que dejar esta enumeración en manos de un ordenador como yo?

Como nota secundaria, ¿hay objetos combinatorios conocidos con los que estén en una biyección natural? Buscando en los vastos índices de mis discos duros, sólo puedo encontrar "coincidencias máximas en un gráfico particular de 24 vértices tal que cada camarilla máxima contenga exactamente una arista coincidente"; no espero encontrar algo tan enrevesado en ninguna de sus publicaciones matemáticas humanas.

Answer 1

Editado, nuevo desde el principio, ya que parece que sólo hay una pregunta, extraída de los comentarios, que he entendido completamente mal, para abreviar:

Considere la $24$ --grafo de vértices cuyo conjunto de vértices es $\{a,\dots,x\}$ y cuyo conjunto de aristas es la unión de los $12$ camarillas $$abcde,\ fghij,\ kl\; mn,\ opqrs,\ tuvwx;\ afkot,\ bglpu,\ ch\;qv,\ dimrw,\ ejnsx;\ agrx,\ eipt\ . $$ ¿Cuántos emparejamientos tienen una arista en cada camarilla máxima?

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La siguiente y sencilla sage el programa calcula $$6156$$ partidos:

a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x = \
    'abcdefghijklmnopqrstuvwx'
S = {a,b,c,d,e, f,g,h,i,j, k,l,m,n, o,p,q,r,s, t,u,v,w,x}
K = [ {a,b,c,d,e}, {f,g,h,i,j}, {k,l,m,n}, {o,p,q,r,s}, {t,u,v,w,x}
      , {a,f,k,o,t}, {b,g,l,p,u}, {c,h,q,v}, {d,i,m,r,w}, {e,j,n,s,x}
      , {a,g,r,x}, {e,i,p,t} ]

count = 0
for edges in cartesian_product( [ [ tuple(comb)
                                    for comb in Combinations(cl, 2) ]
                                  for cl in K if len(cl) == 4 ] ):
    U = { element for edge in edges for element in edge }

    Khorz = [ cl.difference(U) for cl in K[0: 5] if len(cl) == 5 ]
    Kvert = [ cl.difference(U) for cl in K[5:10] if len(cl) == 5 ]

    for horzedges in cartesian_product( [ [ tuple(comb)
                                            for comb in Combinations(cl, 2) ]
                                          for cl in Khorz ] ):
        Uhorz = { element for edge in horzedges for element in edge }
        ok = True    # so far, we check there are exactly 2 pieces left "vertically"
        for kk in range(4):
            if len( Kvert[kk].difference(Uhorz) ) != 2:
                ok = False
                break
        if ok:
            count += 1
            # print count, edges, horzedges, [ tuple(Kvert[kk].difference(Uhorz)) for kk in range(4) ]

print count

Nota: Anteriormente calculé un número mucho mayor sin tomar los "cliquets diagonales" como una restricción más. (Este era un problema combinatorio mucho más difícil).

Nota: En el post original también se utiliza una etiqueta para cada borde del emparejamiento, en este caso el contador es $6156\cdot 12!$ . No hay ninguna otra estructura combinatoria que pueda conectar con este problema, las restricciones diagonales hacen que el cuadro sea muy "rígido", por lo que la teoría de grafos es el marco adecuado.

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Nota: En estos casos, le rogamos que dé también la descripción matemática, ya que esto ahorra esfuerzo y tensión a ambas partes. ambas partes. Nunca he jugado al bingo, todavía no tengo ni idea de si un "bingo" es todo el cuadro de 5x5 con un agujero, si es una celda, o un par (malicioso) que no coincide, o una fila, o una columna en él. Si hay un límite obvio, por favor menciónelo.