Buscar el valor de

Question

Permita que$p(x)$ sea un polinomio de grado$7$ con un coeficiente real tal que$p(\pi)=\sqrt3.$ y

ps

para $$\int_{-\pi}^{\pi}x^{k}p(x)dx=0$. Luego, encuentra el valor de$0\leq k \leq 6$ y$p(-\pi)$?

Si tomo un polinomio general, es difícil de encontrar y también requiere mucho tiempo, así que ayúdame a resolverlo. Gracias

Answer 1

Considerar el % de espacio $\mathbb{R}{\le 7}[x]$de polinomios reales de grado % más $7$, equipado con el % de producto interno $\langle f,g\rangle = \int{-\pi}^\pi fg$.

Cumple con tu polinomio $p$ $p \perp {1, x, \ldots, x^6}$. Sabemos que una base para $\mathbb{R}_{\le 7}[x]$ es dada por ${1, x,\ldots, x^7}$ por lo que aplicando el proceso de Gram-Schmidt en él da una base orthonormal

\begin{equation} \frac1{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} x}{\pi ^{3/2}},\frac{3 \sqrt{\frac{5}{2}} \left(x^2-\frac{\pi ^2}{3}\right)}{2 \pi ^{5/2}},\frac{5 \sqrt{\frac{7}{2}} \left(x^3-\frac{3 \pi ^2 x}{5}\right)}{2 \pi ^{7/2}},\ \frac{3 \left(35 x^4-30 \pi ^2 x^2+3 \pi ^4\right)}{8 \sqrt{2} \pi ^{9/2}},\frac{\sqrt{\frac{11}{2}} \left(63 x^5-70 \pi ^2 x^3+15 \pi ^4 x\right)}{8 \pi ^{11/2}},\\frac{\sqrt{\frac{13}{2}} \left(231 x^6-315 \pi ^2 x^4+105 \pi ^4 x^2-5 \pi ^6\right)}{16 \pi ^{13/2}},\frac{\sqrt{\frac{15}{2}} \left(429 x^7-693 \pi ^2 x^5+315 \pi ^4 x^3-35 \pi ^6 x\right)}{16 \pi ^{15/2}} \end{equation}

Por lo tanto, $p(x) = \frac{\lambda}{16 \pi ^{15/2}}\sqrt{\frac{15}{2}} \left(429 x^7-693 \pi ^2 x^5+315 \pi ^4 x^3-35 \pi ^6 x\right)$ $\lambda \in \mathbb{R}$ constante. Buscar $\lambda$ utilizando el % de condición $p(\pi) = \sqrt{3}$y usted habrá encontrado $p$.

Answer 2

Un "limpiador" solución:

Paso 1: Vamos a $T_n(x)$ ser el polinomio definido en $[-1,1]$ $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta).$ Estos son los llamados polinomios de Chebyshev. Entre sus diversas propiedades, una de ellas es la ortogonalidad: si $n,m \ge 1,$

$$ \int_{-1}^{1} T_n(x) T_m(x) dx = \frac{\pi}{2} \delta_{m,n}.$$

Otra propiedad muy importante es que cada uno de los polinomios de grado $n$. Por lo tanto, ellos mismos se extienden por el espacio de todos los polinomios en la $[-1,1].$

Paso 2: Deje $q(x) = p(\pi x).$ Por un cambio de variables, vemos que $q$ es un polinomio tal que $q(1) = \sqrt{3}$ y

$$ \int_{-1}^{1} x^k q(x) dx = 0, \, k=0,1,...,6. $$

Por las consideraciones anteriores acerca de los polinomios de Chebyshev, vemos que también

$$ \int_{-1}^{1} T_k(x) q(x) dx = 0, \, k=0,1,...,6.$$

Paso 3: Como sabemos que $\{T_j\}_{j \le 7}$ se extiende por el espacio de polinomios de grado $\le 7$ y la ortogonalidad de arriba, si $q(x) = a_0 T_0(x) + \cdots + a_7 T_7(x),$ entonces tenemos que $q(x) = a_7 T_7(x).$ Conectar $x=1$ y el uso de ese $T_7(1) = T_7(\cos (2\pi)) = \cos (14 \pi) = 1,$ obtenemos $\sqrt{3} = a_7.$ Pero $T_7(0) = T_7(\cos(\pi/2)) = \cos(7\pi/2) = 0 \Rightarrow T_7(0) = 0,$ $T_7(-1) = T_7(\cos(\pi)) = \cos(7\pi) = -1.$ Esto implica que $q(-1) = -\sqrt{3},$ $q(0) = 0.$ Traducir en $p,$ tenemos que

$p(0) = 0, p(-\pi) = - \sqrt{3}.$