¿Qué es esta curva?

Question

Líneas (el mismo ángulo espacio entre) irradiando desde un punto de intersección de una línea:

Esta es la distribución de la densidad de los puntos en la línea:

^{He utilizado una secuencia de comandos de Python para el cálculo de este. El intervalo angular es de 0.01 grados. X = tan(deg) redondeado a la décima más cercana, por lo que muchos de los puntos tienen el mismo x. Y es el número de puntos por su X. Se puede ver en el gráfico que ~de 5.700 puntos entre -0.05 y 0,05 en la línea.}

¿Qué es este gráfico de la curva de llamada? ¿Cuál es la ecuación de la función?

Answer 1

La curva es una función de densidad. La idea es la siguiente. Desde su primera foto, se supone que los ángulos de los rayos están espaciados de manera uniforme, el ángulo entre los dos rayos se $\alpha$. I. e. el enésimo ray ha ángulo de $n \cdot \alpha$. El enésimo rayos del punto de intersección $x$ con la línea que sigue a continuación, $\tan (n \cdot \alpha) = x/h$ donde h es la distancia de la recta al origen. Así que a partir de la 0 a $x$, n rayos cruzar la línea.

Ahora usted está interesado en la densidad de $p(x)$, es decir, cuántos de los rayos cruzan la línea en $x$, por línea intervalo de $\Delta x$. En el límite de la pequeña $\alpha$, usted tiene $\int_0^x p(x') dx' =c n = \frac{c}{\alpha}\arctan (x/h)$ y, en consecuencia, $p(x) = \frac{d}{dx}\frac{c}{\alpha}\arctan (x/h) = \frac{c h}{\alpha (x^2+h^2)}$. La constante $c$ es determinado desde la integral de la función de densidad debe ser $1$ (en probabilidad sentido), por lo tanto

$p(x)= \frac{h}{\pi (x^2+h^2)}$.

Esta curva se llama una distribución de Cauchy.

Obviamente, $p(x)$ puede ser multiplicada por una constante $K$ a dar una expectativa de valor de la distribución de $E(x) = K p(x)$$x$, en lugar de una distribución de probabilidad. Esto explica el gran valor de $E(0) = 5700$ o así en su imagen. El valor de $h$ también se llama un parámetro de escala, se especifica la mitad de ancho en la mitad del máximo (HWHM) de la curva y se puede leer a $1$. Si somos realmente "el recuento de los rayos", y luego con ángulo de espaciado $\alpha$ total $\pi/\alpha$ muchos rayos cruzan la línea y, por lo tanto debemos tener $$ \pi/\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}E(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty}K p(x) dx = K $$ Así que la expectativa de valor de la distribución del número de rayos de intersección de una unidad de la línea en la posición $x$ es $$ E(x) = \frac{\pi}{\alpha} p(x)= \frac{h}{\alpha (x^2+h^2)} $$ como ya hemos tenido con la constante $c=1$. La lectura de aproximadamente $E(0) = 5700$ $h=1$ da $ E(x) = \frac{5700}{x^2+1} $ and $\alpha = 1/5700$ (in rads), or in other words, $\pi/\alpha \simeq 17900$ rayos (mitad inferior del plano) cruzan la línea.

Answer 2

Se puede demostrar suponiendo que la cantidad de los rayos es proporcional al intervalo angular que la denisty distribuiton función es de la forma

$$y=\frac{d}{H+x^2}$$

donde $d$ está relacionado con la intensidad y $H$ es la distancia del punto de origen de la línea.

Aquí está la parcela para el caso de $d=H=1$

Answer 3

Esto también es conocido, sobre todo, entre nosotros los físicos como una de Lorenz de la distribución.

Sabemos que cada punto sobre la recta tiene la misma distancia vertical desde el punto de origen. Vamos a llamar a esta $l_0$. También sabemos que la relación de la componente horizontal de la distancia a la componente vertical es $\tan(\theta)$, donde theta va de ${-\pi}\over{2}$ ${\pi}\over{2}$en los incrementos dado. De modo que la distancia horizontal=$x=l_0*\tan(\theta)$.

Para encontrar la densidad, primero tomamos la derivada de ambos lados, obteniendo $dx=l_0*\sec^2(\theta)*d\theta$. De trig, sabemos $\sec^2(\theta)=1+\tan^2(\theta)$, y la de arriba, sabemos que $\tan(\theta)$$x\over{l_0}$. Así podemos aislar $\theta$ para obtener

$${dx \over {l_0* \left( 1+\left({x}\over{l_0} \right)^2 \right)}} =d\theta$$

Sabemos theta es distribuido uniformemente, por lo que podemos dividir ambos lados por $\pi$. Ahora la probabilidad de que un determinado $\theta$ caída de entre el $\theta$ $\theta+d \theta$ es igual a la función de $x$ a la izquierda.