Yo estoy leyendo el apéndice de álgebra homológica de Charles Weibel y tiene la siguiente pregunta. Se menciona que cada morfismo $f: B \to C $ en una categoría abeliana factores como $B \to im(f) \to C$ donde $im(f)\equiv ker(coker(f))$ y el % de morfismo $B \to im(f)$epi y $im(f) \to C$ mono. Soy capaz de demostrar las otras partes del problema pero no ha podido demostrar que el morfismo $B \to im(f)$ es epi. Por favor ayuda. Gracias.
Respuesta
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Una propiedad crucial de Abelian categorías (en su mayoría parte de la definición) es que el canónicamente derivadas de morfismos ${\rm coim}(f)\to {\rm im}(f)$ es iso para todos los morfismos $f$.
El uso de este, ya está hecho, ya que, por un doble argumento ha $B\to{\rm coim}(f)$ es epi.
A partir de la hipótesis de que cada mono es el kernel y todos los epi es cokernel, una manera de demostrar que $v:B\to{\rm im}(f)$ es epi (o, equivalentemente, $u:{\rm coim}(f)\to{\rm im}(f)$ es epi) es la siguiente: Supongamos $t\circ v= 0$ y considerar el pushout de ${\rm im}(f)\to C$$\,t$:
$B \desbordado{f}\longrightarrow C \{\rm coker}(f) \\ v\searrow \, \nearrow \ \searrow t_1 \\ \ \ \ \, {\rm im}(f)\quad\ \ \ \cdot \\ \ \ \ \ \ \ t \searrow \ \nearrow i_1 $
Aquí $t_1\circ f=0$, lo $t_1$ pasa a través de ${\rm coker}(f)$, pero, a continuación, $i_1\circ t$ también se convierte en $0$.
Ahora, el siguiente lema se asegura de que $i_1$ es mono, por lo $t=0$.
Doblemente uno puede demostrar que ${\rm coim}(f)\to{\rm im}(f)$ también es mono, por lo tanto, es un kernel y epi, por lo tanto la iso.
Lema: En un Abelian categoría el pushout de un monomorphism es monomorphism, es decir, si $i:A\hookrightarrow B$$f:A\to C$, entonces las derivadas de flecha $i_1:C\to P$ en el pushout diagrama es mono.
$\ \phantom{f}\desbordado{i}\hookrightarrow\, B \\ f\downarrow\ \ \ \ \ \flecha \\ \ \phantom{f} C \underset{i_1}\P $
Sugerencia: Escribir el pushout como $P={\rm coker}\left(A\overset{[i,-f]}\longrightarrow B\oplus C\right)$ y observar que $[i,-f]:A\to B\oplus C$ es mono (porque de $i$), así que usted puede utilizar la condición de que $[i,-f]=\ker(B\oplus C\to P)$.
