Supongamos que$g(x) = \frac{f(x+1)-f(1)}{f(x)-f(0)} \geq g(1)$, ¿qué sabemos sobre$f$?

Question

Supongamos $f:\mathbb{R_+} \to \mathbb{R}$ es continua y estrictamente creciente en función. Definir $g(x) = \frac{f(x+1)-f(1)}{f(x)-f(0)}$. Para que $f$ la función de $g$ satisface $g(x) \geq g(1)$ todos los $x \geq 0$?

Comentario: esto es parte de un proyecto más amplio donde la existencia de una solución se reduce a la condición de $g(x) \geq g(1)$ por encima. Estoy en busca de condiciones necesarias y suficientes en $f$ que garantizan esto.

Ejemplos:

1. $f(x)=\frac{1}{a} \left[1-e^{-a x} \right]$ implica que el $g(x) = e^{-a}$ independientemente de $x$ y por lo tanto se cumple con la condición.
2. $f(x)=x^a$ $a > 0$ implica que el$g(x) = \frac{(x+1)^a-1}{x^a}$, de modo que $g(x) \geq 1$ si y sólo si $a \geq 1$.

Answer 1

$$g(x) = \frac{f(x+1)-f(1)}{f(x)-f(0)}$$

tiene un mínimo $x=1$. Distinción de da

$$g'(x) = \frac{f(x)f'(x+1)-f(0)f'(x+1)-f'(x)f(x+1)+f(1)f'(x)}{(f(x)-f(0))^2}$$

Esto debe ser 0 $x=1$. Esto da:

$$f(1)f'(2)-f(0)f'(2)-f'(1)f(2)+f(1)f'(1)=0$$

Reorganización de da:

$$\frac{f'(2)}{f'(1)}=\frac{f(2)-f(1)}{f(1)-f(0)}$$

$$\frac{f'(2)}{f'(1)}=g(1)$$

Esto es una condición necesaria si $f$ es diferenciable.