Esta es una pregunta maravillosa; por desgracia, muchas de las respuestas saltar directamente a la explicación de la cardinalidad como si eso de alguna manera es LA única respuesta válida a sus reflexiones.
Ahora, no hay nada de malo con cardinalidad, es una interesante e importante concepto en matemáticas, y a menudo útil. Pero no hay ninguna regla de eso se dice que es cómo usted debe pensar en el tamaño de los conjuntos infinitos.
Si usted necesita para hacer algo que cardinalidades no son adecuadas para el, es totalmente permitido el uso de un concepto diferente en su lugar. En matemáticas estamos siempre libre para elegir a los conceptos y definiciones que nos ayudará a alcanzar nuestra meta, siempre y cuando tengamos claro lo que estamos haciendo (y mientras nuestra selección de definiciones no cambiar lo que el objetivo es, por supuesto. Si alguien establece un objetivo para usted, usted no puede salirse de que mediante la redefinición de las palabras que utilizan para significar algo diferente de lo que tenía en mente).
Por ejemplo, si estamos hablando de conjuntos de puntos en el plano, entonces la cardinalidad es a menudo demasiado cruda, una manera de hablar acerca de su tamaño. Un cuadrado de lado 1 cm y un cuadrado de lado 2 cm. en ambos contienen un número infinito de puntos, y de acuerdo a la cardinalidad de que ambos tienen la misma cardinalidad infinita porque podemos coincidir los puntos uno a uno. Pero todavía es razonable decir que la 2cm cuadrado es $4$ veces tan grande como el de 1cm cuadrado ... por que elegimos para hablar de área (o, en el más elegante palabras, "medida") en lugar de la cardinalidad. Y que con todo derecho.
En tu ejemplo, se tienen dos diferentes conjuntos de números naturales,
$$ \{2,4,6,8,\ldots\} \quad\text{and}\quad \{3,6,9,12,\ldots\}$$
y cardinalidad dice que tienen el mismo tamaño. Y a veces el tipo de tamaño de cardinalidad habla es lo que usted necesita, y si ese es el caso de ir pensando en ellos como equivalente.
Para otros fines, aunque, usted puede necesitar para expresar la intuitiva hecho de que el primer conjunto contiene la mitad de la cantidad de números como el segundo. Que también está bien; sólo tenemos que encontrar algo más que la cardinalidad para hacer que la intuición precisa.
Para este propósito se puede utilizar la densidad de la limitación que Julian Rosen habla: Cuando tenemos un conjunto de números se puede pedir cuántos números son menos de $k$, para cualquier posible $k$ -- y entonces podemos también preguntar sobre la fracción de números de menos de $k$ que están en nuestra serie, es decir, la fracción
$$ \frac{\text{count of numbers in the set less than }k}{k} $$
Ahora, en ambos casos, $\{2,4,6,8,\ldots\}$ $\{3,6,9,12,\ldots\}$ lo que ocurre es que hay un cierto número de $d$ tal que cuando se $k$ es grande, la fracción anterior siempre está cerca de $d$. (En términos técnicos, $d$ es llamado el "límite" de la fracción, y no hay una definición precisa de lo que queremos decir por que, pero no han aprendido que todavía en la escuela secundaria). En ese caso podemos llamar a $d$ la densidad de los números en el conjunto. La densidad de $\{2,4,6,8,\ldots\}$ $\{1,3,5,7,\ldots\}$ ambos $\frac12$, lo que confirma la intuición de que tienen el mismo tamaño. Pero la densidad de $\{3,6,9,12,\ldots\}$ solo $\frac13$, por lo que en el sentido de las densidades de hecho, existen menos los múltiplos de 3 que hay incluso (o impar) de los números.
Este concepto no resuelve todo, sin embargo. En primer lugar, hay conjuntos de números que ni siquiera tienen una densidad de acuerdo a esta definición, por ejemplo, el conjunto de los números que se escriben con un número impar de dígitos en base diez. En ese caso la fracción anterior mantiene tomar valores diferentes entre las $\frac1{11}$ $\frac{10}{11}$ $k$ aumenta, nunca se cierra en un solo límite.
Segundo, a veces nos gustaría comparar el tamaño de los conjuntos que tienen la misma densidad, por ejemplo, el conjunto de los cuadrados perfectos y el conjunto de los números primos ambos tienen la densidad de $0$, pero resulta que, en un sentido todavía hay "más" de los números primos que no son cuadrados perfectos. Es decir, el número de números primos menos de $k$ crece definitivamente más rápido que el número de cuadrados perfectos menos de $k$, cuando se ve como funciones de $k$. Esto también puede ser hecho precisa si ponemos suficiente trabajo en ella.
