El espacio de operadores lineales y acotados es un espacio de Banach

Question

Tengo algunas preguntas sobre la demostración del teorema que está escrito en mis notas. Si alguien me ayuda al respecto se lo agradeceré. Gracias

Teorema : Sea $(X,\|.\|_X)$ es un espacio normado y $(Y,\|.\|_Y)$ es un espacio de Banach, entonces $(B(X,Y),\|.\|_{op})$ es un espacio de Banach

Tengo problemas con algunos escritos:

1) $\|T_n(x)-T_m(x)\|_Y \leq \|T_n-T_m\|_{op}$

$\|T_n(x)-T_m(x)\|_Y \leq sup_{\|x\|_X \leq 1}\|T_n(x)-T_m(x)\|_Y$ es cierto sólo para algunos $x \in X$ no para todos. ¿Cómo podemos utilizarlo?

2) $T_n(x) \to y , \exists y \in Y$ desde $Y$ es un espacio de Banach.Para mí está bien pero después de esta afirmación "Desde $\forall x \in X$ $\exists y \in Y$ podemos escribir $lim_{n\to \infty}T_n(x)=T(x)$ " está escrito.

¿Cómo podemos escribirlo?

Gracias de antemano :)

Answer 1

Para el primer punto, en general no tiene $\|T_n(x)-T_m(x)\|_Y \leq \|T_n-T_m\|$ . Más bien tenemos $\|T_nx - T_mx\| \leq \|T_n - T_m\| \cdot \|x\|$ .

Esto se deduce inmediatamente al observar que para $\|x\| \leq 1$ , $$\|T_n(x)-T_m(x)\|_Y \leq sup_{\|x\|_X \leq 1}\|T_n(x)-T_m(x)\|_Y$$ (Considere $\frac{x}{\|x\|}$ ). Esto es suficiente para demostrar que si $(T_n)$ es Cauchy en $B(X,Y)$ entonces para cada $x$ , $(T_nx)$ es Cauchy en $Y$ que es lo que quieres.

Para el segundo punto, todo lo que quieren decir es que se puede definir un mapa $T:X \to Y$ al establecer $Tx = \lim_\limits{n\to \infty} T_nx$ . No están afirmando que este $T$ es entonces suryectiva - nótese que la afirmación es en cambio que para cada $x$ podemos definir $Tx$ . En general, $T$ no tiene por qué ser sobreyectiva. Sin embargo, siempre es un mapa lineal acotado, que es lo que se desea.