En la notación de allí, $\bf{R}[\alpha]$ denota la subalgebra generados por los números reales $\bf{R}$ y el elemento $\alpha$.
Sobre los campos en general, $F[\alpha]$ pueden ser muy diferentes de los números complejos. Por ejemplo, para$\alpha=\sqrt[n]{2}$,${\bf Q}[\alpha]=\{a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+\dots+a_{n-1}\alpha^{n-1}\mid a,b,c\in \bf Q\}$. En la extensión de $\bf Q\subseteq \bf R$, la extensión de $\bf Q[\pi]$ realidad es isomorfo a ${\bf Q}[x]$ (este es un ejemplo de una extensión por un no algebraicas elemento.)
Desde $\alpha$ es algebraico sobre $\bf{R}$ e no $\bf R$, este anillo de $\bf{R}[\alpha]$ es un finito dimensionales conmutativa de dominio sobre $\bf R$, por lo que es en realidad un campo adecuado extenion. Pero el teorema fundamental del álgebra nos dice que hay un solo campo, y que es $\bf C$.
Básicamente quiero saber lo que es un campo finito de extensión es, y por qué debe ser isomorfo a los números complejos.
Una extensión de campo está a sólo un par de dos campos de $E,F$ tal que $E\supseteq F$. $E$ puede ser visto como un espacio vectorial sobre $F$ en la forma natural (sólo el uso de la multiplicación en $E$.) Esta extensión se llama finita al $E$ es un finito dimensional espacio vectorial sobre $F$. En particular, la extensión por una expresión algebraica es un elemento finito dimensionales de extensión.
