¿Un ejemplo de cuándo bootstrap tiene menos sesgo que las estimaciones clásicas aproximadas?

Question

La reciente pregunta "¿por Qué mi bootstrap intervalo de terribles cobertura?" ha me pregunto si alguien tiene unos muy buenos ejemplos de distribuciones en las que arranque estándar de los errores de forma sistemática supera a los clásicos de los estimadores (no estoy seguro de cuál es la terminología correcta para el conjunto clásico de los estimadores... quizás el momento de la aproximación de los estimadores?).

Con el fin de responder a los comentarios que los estimadores bootstrap puede ser menos sesgada por Ben Ogorek, también he modificado el código (publicado originalmente por Flounderer) para incluir una estimación del sesgo y error cuadrático medio. Después de repetir la simulación de 10.000 veces, a mí me parece que la media de los errores cuadráticos son estadísticamente idénticos.

Gracias por su consideración en este asunto!

tCI.total <- 0
bootCI.total <- 0
m <- 10 # sample size

Trep <- 10000 # number of repetitions of the proceedure
Brep <- 1000 # number of repetitions of the bootrap

sampv <- mbootv <- rep(0,Trep)

true.mean <- exp(2) + 1

# Clear the coverage index values.
tCI.total <- bootCI.total <- 0

for (i in 1:Trep){
  samp <- exp(rnorm(m,0,2)) + 1
  sampv[i] <- mean(samp)

  tCI <- mean(samp) + c(1,-1)*qt(0.025,df=9)*sd(samp)/sqrt(m)

  boot.means <- rep(0,Brep)
  for (j in 1:Brep) boot.means[j] <- mean(sample(samp,m,replace=T))

  mbootv[i] <- mean(boot.means)

  bootCI <- sort(boot.means)[c(0.025*length(boot.means), 0.975*length(boot.means))]

  if (true.mean > min(tCI) & true.mean < max(tCI)) tCI.total <- tCI.total + 1
  if (true.mean > min(bootCI) & true.mean < max(bootCI)) bootCI.total <- bootCI.total + 1 
}
tCI.total/Trep     # estimate of t interval coverage probability
# 0.5634
bootCI.total/Trep  # estimate of bootstrap interval coverage probability
# 0.5416

# Let's look at bias esimate for the sample mean and the bootrapped population mean estimate
(true.mean - mean(mbootv)) # bias estimate of bootstrapped means
# 0.170623
(true.mean - mean(mbootv))^2 + sd(mbootv)^2 # mean squared error of bootstrapped means
# 198.5914

(true.mean - mean(sampv))  # bias estimate of sample means
# 0.170475
(true.mean - mean(sampv))^2 + sd(sampv)^2 # mean squared error of sample means
# 198.4912

Answer 1

Dos cosas que puede o no puede cambiar los resultados de su experimento actual:

1. [Nitpicky.] Estoy bastante seguro de que usted debe utilizar un runif no rnorm en la exponenciación para generar la muestra.

2. Creo que he leído que el cuantil/% IC para el bootstrap no es tan robusto en la cara de distribuciones sesgadas ya que queremos creer.

[EDIT: he encontrado la referencia...]

Consulte el Capítulo 18 (Bootstrap Métodos y Pruebas de Permutación) de un libro, La Práctica de los Negocios de la Estadística, y el capítulo fue escrito por Tim Hesterberg, David S. Moore, Shaun Monaghan, Ashley Clipson, y Rachel virus de Epstein.

Como yo los entiendo, dicen que el percentil CI es mejor que algunas de las alternativas con los datos asimétricos, sino que incluso hay mejores opciones (BCa, etc) por lo que recomiendan que si el normal y el percentil métodos no están de acuerdo, el uso de algo mejor que el percentil método. (Que comienza a sonar un poco desconcertante para mí: es el bootstrap o un sofisticado CI en la evaluación que útil?)

[EDIT 2] Mis sugerencias no hará mucha diferencia. Sin embargo, me encontré en la Wikipedia Bootstrap artículo, menciona: "Cuando se trabaja con tamaños de muestra pequeños (es decir, menos de 50), el percentil intervalos de confianza (por ejemplo) la varianza estadística es demasiado estrecho. Así que con una muestra de 20 puntos, el 90% intervalo de confianza incluirá la verdadera varianza sólo el 78% del tiempo[27]".