Paradoja de cumpleaños: Comparando la versión original con la versión del mismo cumpleaños.

Question

La paradoja de cumpleaños en sí es bien conocido. Sólo estoy interesado en un pequeño aspecto aquí:

El número de emparejamientos en el problema original es

$${23 \choose 2} = \frac{23 \cdot 22}{2}=253$$

Otra versión es la misma-cumpleaños-como-usted problema. Resulta que también se necesitará, al menos, $253$ a las personas a obtener más de $50%$ de probabilidad.

$$1 - \left( \frac{364}{365} \right)^{253}=1-0.499$$

Estoy interesado en esta doble aparición de $253$:

• Wikipedia estados no es una coincidencia
• Ian Stewart estados en un artículo de Scientific American que es una coincidencia

Mi pregunta
Quién tiene la razón y por qué?

Anexo
Sólo en aras de la exhaustividad, después de recibir las grandes respuestas que figuran a continuación (por lo cual estoy muy agradecido): En el ínterin me había puesto también en contacto con Ian Stewart en el asunto y él también se reconoce la conexión. Él me dijo que, de hecho, uno de sus lectores, escribió en pronto después de que el artículo fue publicado para que señalarlo.

Answer 1

El primer problema: $23$ es la respuesta a "el entero más pequeño $n$ tal que $n!\binom{365}{n} / {365^n} < \frac12$". A continuación, el $253$ es $\binom{23}{2}$.
El segundo problema: $253$ es la respuesta a "el entero más pequeño $m$ tal que $\left(\frac{364}{365}\right)^m < \frac12$."

Así que el primer $253$ es necesariamente un número de la forma $\binom{n}{2}$ (un número triangular), mientras que el segundo $253$ puede ser cualquier número entero que sea. En ese sentido, no es una coincidencia que pasan a ser exactamente igual (que la respuesta al segundo problema pasa a ser un número triangular).

Por otro lado, es que no es una coincidencia que son aproximadamente iguales. Podemos ver esto por aproximar el primer problema (el clásico problema del cumpleaños) como sigue. Si hay $n$ de la gente, hay $\binom{n}{2}$ pares. Para un determinado par de divisas, la probabilidad de que ellos no tienen sus cumpleaños en común es $\frac{364}{365}$. Si tratamos a todos estos $\binom{n}{2}$ pares como independiente (esta es la aproximación), entonces la probabilidad de que todos los cumpleaños son distintos es simplemente fue multiplicando $\frac{364}{365}$ muchas veces, por lo tanto queremos que la más pequeña de $n$ tal que $\left(\frac{364}{365}\right)^{\binom{n}{2}} < \frac12$. Equivalentemente, $253$ es la respuesta a "la más pequeña de $\binom{n}{2}$ tal que $\left(\frac{364}{365}\right)^{\binom{n}{2}} < \frac12$." Esta es una aproximación para el problema exacto, pero no muy lejos.

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Conclusión: Ian Stewart, más o menos hace un error, cuando escribe

"Por cierto, el hecho de que esta respuesta para el segundo problema es el mismo que el número de emparejamientos en el primer problema (253 parejas para 23 personas) no parece tener ningún significado matemático. De hecho, parece ser una coincidencia."

No es una coincidencia que la respuesta a "(aproximadamente) el más pequeño de $\binom{n}{2}$ tal que $\left(\frac{364}{365}\right)^{\binom{n}{2}} < \frac12$", y la respuesta a "el entero más pequeño $m$ tal que $\left(\frac{364}{365}\right)^m < \frac12$" pasar a ser aproximadamente igual.

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Para la concreción, aquí para varios valores de $d$ en lugar de $365$ son los valores reales $\binom{n}{2}$ (donde $n = n(d)$ es la respuesta al primer problema) y $m$ (donde $m = m(d)$ es la respuesta al segundo problema). Tenga en cuenta que alrededor de $d = 365$ la segunda columna $\binom{n}{2}$ varía lentamente, siendo a veces menos y a veces más de la tercera columna de $m$, debido a que sólo puede tomar valores como $\binom{22}{2} = 231$, $\binom{23}{2} = 253$, $\binom{24}{2} = 276$, etc., mientras que la tercera columna también puede tomar valores entre.

$$\begin{array}{r|r|r} d & \binom{n}{2} & m \\ \hline 50 & 36 & 35 \\ 100 & 78 & 69 \\ 200 & 136 & 139 \\ 250 & 171 & 173 \\ 300 & 210 & 208 \\ 330 & 231 & 229 \\ 340 & 231 & 236 \\ 350 & 253 & 243 \\ 360 & 253 & 250 \\ 363 & 253 & 252 \\ 364 & 253 & 252 \\ \hline 365 & 253 & 253 \\ \hline 366 & 253 & 254 \\ 367 & 253 & 255 \\ 370 & 253 & 257 \\ 380 & 276 & 264 \\ 390 & 276 & 270 \\ 400 & 276 & 277 \\ 500 & 351 & 347 \\ 600 & 435 & 416 \\ 800 & 561 & 555 \\ 1000 & 703 & 693 \\ 2000 & 1378 & 1386 \\ 5000 & 3486 & 3466 \\ 10000 & 7021 & 6932 \\ 20000 & 13861 & 13863 \\ 50000 & 34716 & 34658 \\ 100000 & 69378 & 69315 \end{array}$$

Los valores de $d$ hasta $1000$ para que los dos números coinciden (como lo hacen con el $d = 365$) son muchas: 4, 8, 9, 14, 21, 22, 30, 40, 51, 52, 64, 65, 79, 95, 112, 113, 131, 151, 173, 196, 220, 221, 246, 247, 274, 303, 333, 365, 398, 432, 433, 468, 469, 506, 545, 585, 586, 627, 628, 670, 671, 715, 716, 761, 762, 809, 858, 908, 909, 960, 961. Estos son exactamente los valores de $d$ que $m$ pasa a ser un número triangular. De hecho, puede probarse con un poco de esfuerzo mediante la conoce límites en $n$ que esto siempre es cierto en general.

Answer 2

Yo diría que es una coincidencia que son exactamente iguales, pero no de los que están cerca. El segundo $253$ puede ser cualquier persona física que desee, pero el número de emparejamientos se limitan a números triangulares, que tienen importantes lagunas. Los dos cálculos difieren ligeramente debido a que la primera puede tener múltiples parejas o triples, mientras que el segundo no, pero este es un pequeño efecto. Ignorando que, en ambos casos estamos buscando la más pequeña disponible $n$ tal que $\left(\frac{364}{365}\right)^n \lt \frac 12$