Grupo de inercia compuesto de campos numéricos: ¿errata en el libro de Ribenboim?

Question

Tengo una pregunta acerca de este hilo en MO, en el que está escrito en la respuesta:

Aquí está un ejemplo simple: tome $K_1=\mathbb{Q}(i)$$K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. A continuación, tanto en $K_1/\mathbb{Q}$ $K_2/\mathbb{Q}$ (totalmente) se ramifica en$p=2$$K_1\cap K_2=\mathbb{Q}$, pero $F=K_1K_2$ no es totalmente ramificado en $2$. [...]

[Hemos] $I_1=D_1=G_1$ $I_2=D_2=G_2$ (en su notación) pero [...] la inercia en la compositum tiene orden de $2$ [...].

No entiendo por qué la inercia en la compositum tiene orden de $2$. De acuerdo a Ribenboim, Clásicos de la Teoría de Números Algebraicos, capítulo 14, la proposición E, p. 263, tenemos :

Deje $K \subset F,F' \subset L=FF'$ número de campos que $F/K$ $F'/K$ son Galois. Si $F \cap F' = K$ $$I_P(L/K) \cong I_{P \cap F}(F/K) \times I_{P \cap F'}(F'/K)$$ y $$D_P(L/K) \cong D_{P \cap F}(F/K) \times D_{P \cap F'}(F'/K)$$

donde $P$ es una de las principales de $L$ por encima de un primer $\mathfrak p$ de $K$, $I(\cdot)$ es la inercia del grupo, y $D(\cdot)$ la descomposición del grupo.

Tal vez la respuesta MO se centró en $K_1K_2/K_2$, porque cuando él está escrito "la inercia en la compositum tiene orden de $2$", no puede estar hablando de $I_P(K_1K_2/\Bbb Q)$ que tiene orden de $4$ por Ribenboim del teorema. O estoy equivocado en alguna parte?

Answer 1

Creo que hay la siguiente debilidad en Ribenboim del argumento.

El contexto es que el $L/K$ es el compositum de dos trivialmente intersección de las extensiones de Galois $F/K$$F'/K$. Entonces sabemos que el $$Gal(L/K)\simeq Gal(F/K)\times Gal(F'/K),$$ donde el isomorfismo asigna un automorphism $\sigma\in Gal(L/K)$ a sus restricciones de $(\sigma\vert_F,\sigma\vert_{F'})$.

En las primeras líneas de la página 264 él explica cómo la restricción homomorphism mapas de $D_P(L/K)$ a $D_{P\cap F}(F/K)$ a $D_{P\cap F'}(F'/K)$. Yo creo que esto es todo bien y correcto. Sin embargo, esto NO implica que tengamos $$ D_P(L/K)\simeq D_{P\cap F}(F/K)\times D_{P\cap F'}(F'/K). $$

Luego simplemente indica que el argumento de la inercia de los grupos se realiza de manera similar.

Esencialmente Ribenboim parece estar argumentando que si el siguiente "Lema" se mantenga.

Afirmación falsa: Vamos a $G=G_1\times G_2$ ser un producto directo de grupos. Deje $p_i:G\to G_i$ ser canónica de la proyección, $i=1,2$. A continuación, para todos los subgrupos $H\le G$ tenemos $H=p_1(H)\times p_2(H)$.

Contraejemplo: Vamos A $G_1=G_2=C_2$. Deje $H$ ser la diagonal subgrupo. A continuación, $H$ también es cíclico de orden dos, como son el homomórfica imágenes de $p_1(H)$$p_2(H)$.

El dado contraejemplo acerca de la inercia de los grupos de la racional prime $p=2$ en el caso $K=\Bbb{Q}$, $F=\Bbb{Q}(i)$, $F'=\Bbb{Q}(\sqrt{-5})$, $L=\Bbb{Q}(i,\sqrt5)$ luego de parallels este contraejemplo precisamente. En este caso, la inercia de los subgrupos de la única prime ideal por encima de $(2)$ $L$ es la diagonal del subgrupo de $Gal(F/K)\times Gal(F'/K)$, en virtud de la identifcations.

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No tengo una copia de ese libro, así que no puedo decir si esto tiene consecuencias nefastas para el resto del material. Bien puede ser que una versión corregida de la anterior Afirmación Falsa salva el día en algunas ocasiones. Siempre tenemos las inclusiones $$ (H\cap G_1)\times (H\cap G_2)\le H\le p_1(H)\times p_2(H), $$ y a veces puede ser posible trabajar con las intersecciones $H\cap G_i$ o combinaciones como $p_1(H)\times (H\cap G_2)$ lugar. No estoy seguro.