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Grupo de inercia compuesto de campos numéricos: ¿errata en el libro de Ribenboim?

Tengo una pregunta acerca de este hilo en MO, en el que está escrito en la respuesta:

Aquí está un ejemplo simple: tome K1=Q(i)K2=Q(5). A continuación, tanto en K1/Q K2/Q (totalmente) se ramifica enp=2K1K2=Q, pero F=K1K2 no es totalmente ramificado en 2. [...]

[Hemos] I1=D1=G1 I2=D2=G2 (en su notación) pero [...] la inercia en la compositum tiene orden de 2 [...].

No entiendo por qué la inercia en la compositum tiene orden de 2. De acuerdo a Ribenboim, Clásicos de la Teoría de Números Algebraicos, capítulo 14, la proposición E, p. 263, tenemos :

Deje KF,FL=FF número de campos que F/K F/K son Galois. Si FF=K IP(L/K)IPF(F/K)×IPF(F/K) y DP(L/K)DPF(F/K)×DPF(F/K)

donde P es una de las principales de L por encima de un primer p de K, I() es la inercia del grupo, y D() la descomposición del grupo.

Tal vez la respuesta MO se centró en K1K2/K2, porque cuando él está escrito "la inercia en la compositum tiene orden de 2", no puede estar hablando de IP(K1K2/Q) que tiene orden de 4 por Ribenboim del teorema. O estoy equivocado en alguna parte?

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Creo que hay la siguiente debilidad en Ribenboim del argumento.

El contexto es que el L/K es el compositum de dos trivialmente intersección de las extensiones de Galois F/KF/K. Entonces sabemos que el Gal(L/K)Gal(F/K)×Gal(F/K), donde el isomorfismo asigna un automorphism σGal(L/K) a sus restricciones de (σ|F,σ|F).

En las primeras líneas de la página 264 él explica cómo la restricción homomorphism mapas de DP(L/K) a DPF(F/K) a DPF(F/K). Yo creo que esto es todo bien y correcto. Sin embargo, esto NO implica que tengamos DP(L/K)DPF(F/K)×DPF(F/K).

Luego simplemente indica que el argumento de la inercia de los grupos se realiza de manera similar.

Esencialmente Ribenboim parece estar argumentando que si el siguiente "Lema" se mantenga.

Afirmación falsa: Vamos a G=G1×G2 ser un producto directo de grupos. Deje pi:GGi ser canónica de la proyección, i=1,2. A continuación, para todos los subgrupos HG tenemos H=p1(H)×p2(H).

Contraejemplo: Vamos A G1=G2=C2. Deje H ser la diagonal subgrupo. A continuación, H también es cíclico de orden dos, como son el homomórfica imágenes de p1(H)p2(H).

El dado contraejemplo acerca de la inercia de los grupos de la racional prime p=2 en el caso K=Q, F=Q(i), F=Q(5), L=Q(i,5) luego de parallels este contraejemplo precisamente. En este caso, la inercia de los subgrupos de la única prime ideal por encima de (2) L es la diagonal del subgrupo de Gal(F/K)×Gal(F/K), en virtud de la identifcations.


No tengo una copia de ese libro, así que no puedo decir si esto tiene consecuencias nefastas para el resto del material. Bien puede ser que una versión corregida de la anterior Afirmación Falsa salva el día en algunas ocasiones. Siempre tenemos las inclusiones (HG1)×(HG2)Hp1(H)×p2(H), y a veces puede ser posible trabajar con las intersecciones HGi o combinaciones como p1(H)×(HG2) lugar. No estoy seguro.

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