Convergencia uniforme de una sucesión de funciones definida por una integral

Question

Me gustaría tu opinión sobre la siguiente pregunta:

Luego, que ${f_n}$ ser una secuencia de funciones integrables en $[a,b]$ que converge uniformemente a la función integrable $f$, que $F(x)=\int_a^xf(t)dt $, y $F_n(x)=\int_a^xf_n(t)dt$, quiero demostrar que $F_n$ converge uniformemente a $F$ $[a,b]$.

Puedo solo usar la constante de la integral y decir %#% $ #%

¡Muchas gracias!

Answer 1

No, muestra la convergencia, pero convergencia no uniforme. Fijar $\epsilon>0$ y elija $N$, por la convergencia uniforme de $(f_n)$, que

$$n\geq N\Rightarrow |f(x)-f_n(x)|

Entonces, para $x\in[a,b]$, $\int_a^x|f(y)-f_n(y)|dy