¿Cómo deberíamos pensar en las secciones de un fajo en un esquema como funciones?

Question

Tengo que admitir que es un poco vergonzoso que he llegado a este momento de aprendizaje acerca de los esquemas sin la sensación de que estoy muy cómodo con esto. Supongamos $(X, \mathcal{O}_{X})$ es un esquema. De hecho, para el propósito de esta pregunta es probablemente suficiente para considerar un esquema afín.

Lo que estoy realmente quieren saber es, ¿cómo deberíamos $\textit{really}$ piensa acerca de las secciones de $\mathcal{O}_{X}(U)$? O tal vez un equivalente pregunta: ¿Cómo son los diferentes formalismos equivalente?

Elaborar, examinar el tratamiento en Eisenbud & Harris. De ahí, que el tratamiento de las "funciones" en un esquema afín $\text{spec}A$ como elementos $f \in A$ cuya acción sobre un punto de $p \in \text{spec} A$ (correspondiente al primer ideal $\mathfrak{p} \subseteq A$) es algo así como $$ f: p \mapsto A / \mathfrak{p} \longrightarrow \kappa(p), $$ con $\kappa(p)$ siendo el residuo de campo en $p$. Lo que en este sentido, las secciones pueden considerarse como funciones de asignación de puntos en un campo diferente en cada punto.

Hartshorne comienza simplemente afirmando que las secciones sobre $U$ son funciones $$ s: U \longrightarrow \bigsqcup_{p \en U} A_{\mathfrak{p}} $$ que satisfacen ciertas localidad propiedades. Este formalismo de Hartshorne parece muy análoga a la construcción de la gavilla asociado a un presheaf. Hecho de que la construcción se hace exactamente la misma cosa: Se consideran los mapas de los bloques abiertos en la inconexión de la unión de los tallos y de imponer ciertas localidad de condiciones. Así es la gavilla que Harthshorne define para afín esquemas de alguna manera el sheafification en algo mucho más simple?

Entonces, ¿cómo exactamente son todas estas ideas atados juntos? Me siento como algo que no es realmente un clic. Cuando hablamos de una sección de $\mathcal{O}_{X}(U)$, ¿cuál es este objeto $\textit{really}$? Como una función, ¿qué hacer? ¿Cómo funciona la colección de estas funciones dan lugar a las secciones de paquetes de gérmenes como en Harthsorne?

Me ha etiquetado esta como un suave pregunta ya que no estoy muy seguro que tiene una respuesta concreta, más allá de una explicación intuitiva.

Answer 1

Dado un anillo de $A$ estructural de la gavilla $\mathcal O_X$ de los afín esquema de $X=\operatorname {Spec}A$ es de hecho la gavilla asociado a una muy natural presheaf, a saber, la presheaf de los anillos de $\mathcal O'_X$ define de la siguiente manera:

Para un subconjunto $U\subset X$, el anillo de $\mathcal O'_X(U)$ es el anillo de fracciones $$\mathcal O'_X(U)=S(U)^{-1}O_X(U)$$ where the multiplicative set $S(U)$ is $$S(U)=\{f\in A\vert\,\forall \mathfrak p\in U, f\notin \mathfrak p\}$$ You can find an example proving that in general $O'_X(U)\neq O_X(U)$ aquí.
Tenga en cuenta que para $U$ de la forma $U=D(f) \; (f\in A)$ tenemos $O'_X(U)= O_X(U)$: Hartshorne la Proposición 2.2 (b), página 71 en el capítulo II.

Edit: ¿y diferencial de los colectores?
Es extremadamente increíble y menospreciada hecho para un subconjunto $U\subset X$ de un diferencial de colector $X$ nos hacen tener $$C^\infty(U)=\{\frac {g\vert U}{f\vert U}: f,g\in C^\infty(X)\operatorname {and}\forall x\in U, f(x)\neq0 \}$$ Así que si los colectores son vistos como localmente anillado espacios (como se debe!) tenemos en esa categoría $\mathcal O_{X,\operatorname {diff}}^{'}= \mathcal O_{X,\operatorname {diff}}$ !
Una de las muy escasas referencias a este resultado es Nestruev, la Proposición 10.7, página 145.

Answer 2

Si $X$ es un esquema sobre un campo, entonces realmente podemos interpretar una sección como una función con valores en el campo.

Tenga en cuenta que para cualquier abierto $U \subset X$ un morfismos $U \to \mathbb A^1_k = \operatorname{Spec}k[x]$ es el mismo que el de un mapa de $k[x] \to \mathcal O_X(U)$, y en el universal propiedad del polinomio anillo esta es la misma como la elección de un elemento $f \in \mathcal O_X(U)$. Así, hemos natural bijection entre la sección de la estructura de la gavilla y morfismos afín a la línea. Si $k$ es algebraicamente cerrado, los puntos de los afín a la línea pueden ser interpretados como puntos en $k$.