Cómo calcular la integral indefinida $\int\frac{1}{x^3+x+1}dx$

Question

<blockquote> <p>¿Cómo calcular la siguiente integral indefinida?</p> <p>$$\int\frac{1}{x^3+x+1}dx$$</p> </blockquote> <hr> <p><strong>Enfoque:</strong></p> <p>$x^3+x+1=(x-a)(x^2+ax+c)$ donde</p> <p>$a:$ real solución de la ecuación de $a^3+a+1=0$</p> <p>$c:$ real solución de la ecuación de $c^3-c^2+1=0$</p> <p>Entonces $$\int\frac{1}{x^3+x+1}dx=\int\frac{1}{(x-a)(x^2+ax+c)}dx=\int\frac{A}{(x-a)}dx+\int\frac{Bx+C}{(x^2+ax+c)}dx$ $</p>

Answer 1

Comenzando con la raíz de mi comentario anterior, $$a=-\frac2{\sqrt3}\sinh\left(\frac13\sinh^{-1}\frac{3\sqrt3}2\right)$$ Podemos factorizar el denominador como $x^3+x+1=(x-a)(x^2+ax+a^2+1)$. A continuación, el parcial fracciones de expansión lee $$\frac1{x^3+x+1}=\frac{A}{x-a}+\frac{Bx+C}{x^2+ax+a^2+1}$$ Podemos encontrar $A$ multiplicando ambos lados por $(x-a)$ y tomando el límite: $$A=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x^3+x+1}=\frac1{3a^2+1}$$ por la regla de L'Hospital. Si observamos que $$\begin{align}\left(3a^2+1\right)\left(6a^2-9a+4\right) & =\left(18a-27\right)\left(a^3+a+1\right)+31 \\ & =31\end{align}$$ De ello se sigue que $$A=\frac{6a^2-9a+4}{31}$$ Entonces, si multiplicamos por $(x^3+x+1)$ y comparar los coeficientes de poderes de $x$ nos encontramos con que $$\begin{align}B & =\frac{-6a^2+9a-4}{31} \\ C & =\frac{18a^2+4a+12}{31}\end{align}$$ Así $$\begin{align}\frac1{x^3+x+1} & =\frac1{31}\left\{\frac{6a^2-9a+4}{x-a}+\frac{-\left(6a^2-9a+4\right)x+18a^2+4a+12}{x^2+ax+a^2+1}\right\} \\ & =\frac1{31}\left\{\frac{6a^2-9a+4}{x-a}+\frac{\left(-3a^2+\frac92a-2\right)(2x+a)+\frac{27}2a^2+3a+9}{x^2+ax+a^2+1}\right\}\end{align}$$ Ahora todos nuestros integrales son primarias y nos encontramos con $$\int\frac1{x^3+x+1}dx=\frac1{31}\left\{\left(6a^2-9a+4\right)\ln|x-a|-\left(3a^2-\frac92a+2\right)\ln\left(x^2+ax+a^2+1\right)+\frac{\left(27a^2+6a+18\right)}{\sqrt{3a^2+4}}\tan^{-1}\left(\frac{2x+a}{\sqrt{3a^2+4}}\right)\right\}+C$$ Integración numérica confirma este resultado.