Paquetes vectoriales y principales $G$ -paquetes

Question

Estoy tratando de entender la noción de un director $G$ -frente a un haz vectorial. Aquí $G$ es un grupo de Lie.

Supuestamente, el director $G$ -Los paquetes son una generalización de los paquetes vectoriales. Mi problema aquí es que la mayoría de las fuentes, por ejemplo la página de wikipedia , habla de paquetes sobre $GL_n(\mathbb{R})$ o algún otro grupo matricial de este tipo. Pero las fibras de los haces vectoriales son de la forma $\mathbb R^n$ y no $GL_n(\mathbb{R})$ . Entonces, ¿cómo es que los haces principales son la generalización de los haces vectoriales?

Por otro lado, ¿existe algún tipo de correspondencia entre los haces vectoriales y $GL_n(\mathbb{R})$ -fardos, por lo que los fardos principales son, de alguna manera indirecta, una generalización?

Answer 1

Por otro lado, ¿existe algún tipo de correspondencia entre los haces vectoriales y $\text{GL}_n(\mathbb{R})$ -fardos, por lo que los fardos principales son, de alguna manera indirecta, una generalización?

Sí. Dado un director $G$ -y una representación lineal $\rho : G \to \text{Aut}(V)$ , se obtiene un haz vectorial asociado cuyas fibras se parecen a $V$ en lugar de $G$ . Esto le da un functor de principal $\text{GL}_n(\mathbb{R})$ -fondos a $n$ -de los haces vectoriales (tomando la norma $n$ -representación dimensional) que es una equivalencia de categorías (el functor inverso viene dado por tomar la paquete de marcos ).