Anillo conmutativo$R$ tal que$R[x]$ tiene unidades no constantes.

Question

Tengo un ejercicio que me pide dar un ejemplo de un anillo conmutativo$R$, de manera que$R[x]$ tiene unidades no constantes. A primera vista, seguramente$\mathbb{Z}[x]$ es un anillo conmutativo y daría unidades no constantes, ya que el inverso multiplicativo de un polinomio no es constante. Tal vez estoy malinterpretando la pregunta? No quiero la respuesta a toda máquina, a menos que esté en lo cierto, solo estoy buscando orientación.

Answer 1

Sugerencia: Significan polinomios de la forma$a_nx^n+\cdots+a_0$ con$a_n\ne 0$ y$n>1$. ¿Qué piensa acerca de un$\mathbb{Z}_n$ adecuado para el cual$2x+1$ es su propio inverso?

Answer 2

El anillo de $R[x]$ contiene un no-constante invertible polinomio $f(x)\in R[x]\setminus R$ si y sólo si el anillo de $R$ no es reducido, es decir, si existe alguna que no sea cero $0\neq r\in R$ y algunos $n\gt 0$$r^n=0$.
Este no tan fácil teorema , dado como ejercicio 2 en el Capítulo 1 de Atiyah-Mcdonald's Álgebra Conmutativa.
Tomando este teorema como una guía, es muy fácil ( es decir, sin resolver el ejercicio!) para dar un ejemplo de una invertible $f(x)$ en un no-reducido el anillo de su elección: Alex da una indicación de una posible respuesta.

Answer 3

Estás malinterpretando la pregunta; no hay inversa multiplicativa de un polinomio no constante en$\mathbb{Z}[x]$. Es decir,$\frac{1}{x}$ (por ejemplo) no es un elemento de$\mathbb{Z}[x]$, por lo que$x$ no es una unidad en$\mathbb{Z}[x]$.

Para ser claros: para un anillo$R$, el anillo polinómico$R[x]$ es$$R[x]=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\mid a_i\in R,\, n\geq 0\}$ $ y para un anillo$S$, un elemento$a\in S$ es una unidad cuando hay algunos$b\in S$ tales que$ab=1$.

Answer 4

He aquí un ejemplo simple de un no constante de la unidad polinomio: $\rm\: 1\, =\, (1-nx)(1+nx)\ $ $\rm\:\Bbb Z/n^2.$

Generalmente, $\rm\ r_0 \!+ r_1 x\! +\:\cdots + r_n x^n\ $ es una unidad en $\rm\:R[x] \iff r_0\:$ es una unidad y $\rm\: r_k $ es nilpotent para $\rm\ k\ge 1.$

Prueba de $\ $ (boceto) $ $ Si $\rm\:R\:$ es un dominio, entonces fácilmente $\rm\:f(x)\:$ unidad $\rm\Rightarrow r_k = 0\:$ $\rm\:k>0\:.\: $ $\rm\ R\to R/P,\ $ $\rm\,P\,$ prime, reduce el dominio de caso, generando que el $\rm\:r_k,\ k>0\:$ están en todo el primer ideal. Pero la intersección de todos los primer ideales es el nilradical, el conjunto de todos los nilpotent elementos - ver aquí.

Ver también este post en el método general de la reducción a los dominios de factoring los mejores ideales.