Una estructura lisa "Trivial"

Question

Sea M un topológico colector de dimensión $n$. Supongamos que existe una homeomorphism $$ \phi \colon M \longrightarrow \mathbb{R}^n $$ se define para todas las $x \in M$. Es decir, $\phi$ es un continuo bijection de forma continua con inversa. Por lo tanto, sería apropiado llamar a $\phi$ un gráfico en $M$ y, me parece, podríamos definir un atlas $\mathcal{A}$ $M$ consistente en la única tabla de $\phi$, $$ \mathcal{A} := \{(\phi, M)\} $$ El uso de este atlas, si mi razonamiento es correcto, se puede considerar $M$ a ser un suave colector. Por lo tanto, cualquier topológico colector $M$ para el cual existe un homeomorphism $\phi \colon M \longrightarrow \mathbb{R}^n$ puede ser considerada realmente como un suave colector.

Entonces, mi pregunta es, Es esta línea de razonamiento correcto?

Todas estas afirmaciones parecen seguir directamente de las definiciones, pero es algo contrario a la intuición en el sentido de que claramente no todos los homeomorphisms han suave inversos. por ejemplo, si $\phi(x) = x^3$, $\phi^{-1}(x) = x^{1/3}$ y es fácil ver que $\phi$ es un homeomorphism pero la derivada de $\phi^{-1}$ no existe en el origen.

Answer 1

Sí que es correcta.

En cuanto a tu ejemplo en $\mathbb R$, no es un buen colector de estructura en $\mathbb R$ proveniente de la tabla de $x\mapsto x^3$, y por la razón que usted dio, esto no es compatible con el estándar liso colector de la estructura de la venida de la tabla de $x\mapsto x$.

Sin embargo, el buen colectores obtenidos de esta manera son diffeomorphic. Deje $\mathbb R_{\text{cube}}$ $\mathbb R$ con la cubicación gráfico, y deje $\mathbb R_{\text{st}}$ $\mathbb R$ con el estándar de atlas. A continuación, $f:\mathbb R_{\text{cube}}\to\mathbb R_{\text{st}}$ definido por $f(x)=x^3$ es un diffeomorphism.

Es generalmente el caso de que la estructura se pone en $M$ de esta manera se diffeomorphic a $\mathbb R^n$. Algo análogo a convertir una homeomorphism en un diffeomorphism de esta manera inducir a una topología en un conjunto mediante un bijection. E. g., usted puede establecer un lugar unnatual la topología en $[0,1]$ por la elección de un bijection de $[0,1]$ $\mathbb R$ y lo que es un homeomorphism. También en cierto modo análogo, se puede colocar un completo métrica en $(0,1)$ por la elección de un homeomorphism de $(0,1)$ $\mathbb R$ y lo que es una isometría. En este caso, la secuencia de $(1/n)$ no va a ser una secuencia de Cauchy.