Uso de Cauchy ' teorema integral de s sin el polinomio en el denominador

Question

Estoy tratando de encontrar a $$\oint_C \frac{z^2+1}{e^{\frac {z}{10}}-1}dz$ $ $C$ dónde está el círculo unidad recorrido hacia la izquierda. Creo que debo usar teorema integral de Cauchy pero no entiendo cómo porque el teorema tiene específicamente un polinomio en el denominador. El integrando tiene un punto singular en $z=0$ así puedo usar el teorema de residuo pero no entiendo cómo calcular el residuo en este caso tampoco.

Answer 1

No estoy seguro de cómo se aplicaría el teorema de Cauchy aquí, pero en el caso de los residuos de la computación, tenga en cuenta $$\lim{z \to0}(z-0)\frac{z^2+1}{e^{\frac {z}{10}}-1}=\lim{z \to0}\frac{z^3+z}{e^{\frac {z}{10}}-1}=10\lim{z \to0}\frac{3z^2+1}{e^{\frac {z}{10}}}=10\neq0$ $ donde la regla de l'Hopital fue utilizada en la segunda igualdad, $z=0$ es un polo simple del integrando. Por lo tanto
$$\text{Res}{z=0} \frac{z^2+1}{e^{\frac {z}{10}}-1}=\lim_{z \to0}\frac{z^3+z}{e^{\frac {z}{10}}-1}=10$ $ calculado anteriormente y así utilizando residuo Teorema $$\ointC \frac{z^2+1}{e^{\frac {z}{10}}-1}=2\pi i \text{Res}{z=0} \frac{z^2+1}{e^{\frac {z}{10}}-1}=20\pi i$ $

Answer 2

Podemos escribir

$$\begin{align} \oint{|z|=1}\frac{z^2+1}{e^{z/10}-1}\,dz&=2\pi i \text{Res}\left(\frac{z^2+1}{e^{z/10}-1},z=0\right)\\ &=2\pi i \lim{z\to 0}\frac{z(z^2+1)}{e^{z/10}-1}\\ &=2\pi i \lim_{z\to 0}\frac{(z^2+1)+2z^2}{(1/10)e^{z/10}}\\ &=20\pi i \end {Alinee el} $$

Answer 3

Tiene un polo simple en el origen porque $(\mathrm e^{z/10}-1)' = \frac{1}{10}\mathrm e^{z/10} \neq 0$ cuando $z=0$.

Usted necesita encontrar %#% $ #%

Para ello, utilice la regla de L'Hopital: $$\lim{z \to 0} z \times \frac{z^2+1}{\mathrm e^{z/10}-1} = \lim{z \to 0}\frac{z^3+z}{\mathrm e^{z/10}-1}$ $