¿Cómo se muestra$\mu(\overline{\mathbb{R}}) = \overline{\mathbb{R}}$ iff$a, b, c, d \in \mathbb{R}$ para$\mu(z) = \frac{az+b}{cz+d}$?

Question

Deje $\mu(z) = \frac{az+b}{cz+d}$ ser una transformación de Möbius. Quiero mostrar que la $$\mu(\overline{\mathbb{R}}) = \overline{\mathbb{R}} \iff a, b, c, d \in \mathbb{R}.$$ Lo que sería un elegante, y es de esperar camino más corto para probar esta afirmación?

He tratado de demostrar una implicación primero, pero luego llego a una gran cantidad de diferentes casos y no creo que la manera de mostrar la declaración es para hacer un torpe caso-por-caso de análisis. Otros ejercicios dados por el autor de los apuntes de clase son mucho más fácil - por ejemplo, me mostró que $\mu(\mathbb{D}) = \mathbb{D}$ $\mu(0)=0$ si y sólo si $\mu(z) = \zeta z$ $\zeta \in S^1$ donde $\mathbb{D}$ denota el abrir la unidad de disco en $\mathbb{C}$ $S^1$ denota el círculo unidad en $\mathbb{C}$ - que es por eso que yo creo que debe haber una manera más elegante para abordar este problema.

Gracias por las respuestas de antemano.

EDIT: Como Chris y yoyo han señalado, que la afirmación no es correcta. La expresión correcta sería probablemente (corríjanme si me equivoco de nuevo)

$$\mu(\overline{\mathbb{R}}) = \overline{\mathbb{R}} \iff a, b, c, d \in \lambda \mathbb{R}$$ para algunas constantes $\lambda \in \mathbb{C}$.

Answer 1

Una dirección es clara: si no existe $\lambda\in\mathbb C$ tal que $a,b,c,d\in\lambda\mathbb R$, después de la cancelación de $\lambda$ tenemos todos los coeficientes reales. A la inversa, fue demostrada por sos440 en los comentarios: copio el comentario con formato mejorado.

Tenga en cuenta que la transformación de Möbius es determinada únicamente por su valor de tres puntos. En particular, $$\tilde \mu(z)=\frac{(z−z_0)(z_1−z_\infty)}{(z−z_\infty)(z_1−z_0)} \tag{*}$$ es la transformación de Möbius que los mapas $z_0$, $z_1$ y $z_\infty$ a $0$, $1$ y $\infty$, respectivamente. Dada una transformación $\mu$ que corrige el extendido real de la línea, vamos a $z_0=\mu (0)$, $z_1=\mu(1)$ y $z_\infty=\mu(\infty)$ ( * ). Estos son elementos de la $\overline{\mathbb R}$, lo $\tilde \mu$ define una transformación de Möbius asociado a una verdadera matriz. Desde $\mu^{-1}=\tilde \mu$, se deduce que el $\mu$ sí se asocia a una verdadera matriz.