Las flechas del objeto inicial en una categoría son monomorfismos?

Question

Dejemos que $\mathbb{A}$ sea una categoría y $I \in \mathbb{A}$ su objeto inicial ( $\forall A \in \mathbb{A}. \exists ! f:I \longrightarrow A$ ).

Para $A \in \mathbb{A}$ , demuestre que $f:I \to A$ es un monomorfismo ( $\forall B \in \mathbb{A}, g,h:B \longrightarrow I. f\circ g=f\circ h \implies g=h$ ).

No pude probarlo ni refutarlo.

Answer 1

Esta afirmación es verdadera si y sólo si su dual es verdadera:

En cualquier categoría, las flechas a los objetos terminales son epimorfismos

Tenemos un contraejemplo fácil en $\mathbf{Set}$ a esta reclamación: $\emptyset \to \{ \emptyset \} $

Podemos encontrar un contraejemplo a la afirmación original en $\mathbf{Ring}$ : $\mathbb{Z}$ es inicial, pero los mapas $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ no son monomorfismos.

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Lo que sí tenemos, sin embargo, es que las flechas de un objeto terminal son monomorfismos, y de forma similar las flechas a un objeto inicial son epimorfismos.

Answer 2

Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una categoría cuyos objetos son $\mathrm{ob}(\mathcal{C})=\{x,y\}$ y cuyos morfismos son $$\begin{align} \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(x,x)&=\{\mathrm{id}_x\} & \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(x,y)&=\{f\}\\\\ \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(y,x)&=\{g,h\} & \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(y,y)&=\{\mathrm{id}_y,k\} \end{align}$$ donde $g\circ f=h\circ f=\mathrm{id}_x$ y $f\circ g=f\circ h=k$ , $\;k\circ k=k$ , $\;g\circ k=g$ , $\; h\circ k=h$ .

Entonces $x$ es un objeto inicial de $\mathcal{C}$ y $f\circ g=f\circ h$ pero $g\neq h$ .

(Como Jim señala en un comentario debajo de su respuesta, la categoría que yo había utilizado no era realmente un contraejemplo; necesitamos incluir un morfismo de no identidad de $y$ a sí mismo).

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Aunque ya has aceptado mi respuesta, había estado haciendo un diagrama de esta categoría, y podría incluirlo en este momento:

                                       

\\documentclass{standalone}
\\usepackage{tikz-cd}
\\begin{document}
\\begin{tikzcd}
x \\ar\[bend left=40\]{r}{f}
\\ar\[loop left,out=220,in=140,distance=1cm\]{}{\\mathrm{id}\_x}
& y \\ar\[bend left=40\]{l}\[swap\]{g} \\ar\[bend left=70\]{l}\[pos=0.47\]{h}
\\ar\[loop right,out=322,in=38,distance=1cm\]{}{\\mathrm{id}\_y}
\\ar\[loop right,out=295,in=65,distance=2.5cm\]{}\[swap\]{k}
\\end{tikzcd}
\\end{document}

Answer 3

Esto es falso. No tengo un ejemplo "natural" para usted, tal vez alguien más puede venir con uno. Pero aquí hay una categoría para la que esto falla, hay exactamente dos objetos, $\{A, I\}$ y hay exactamente $6$ morfismos:

• $f\colon A \to I$
• $g\colon A \to I$
• $a\colon I \to A$
• $\mathrm{id}_A$
• $\mathrm{id}_I = fa = ga$
• $af = ag$

La composición se da según las reglas anteriores. Entonces $I$ es inicial pero $a$ no es un monomorfismo porque $f \neq g$ pero $af = ag$ .

Answer 4

Suele ser una buena idea mirar primero los ejemplos antes de intentar demostrar algo. Ya falla para la categoría de anillos unitales, aquí $\mathbb{Z}$ es inicial y $\mathbb{Z} \to R$ sólo es un monomorfismo cuando $R \neq 0$ y la característica de $R$ es cero. Más generalmente, tenemos el siguiente resultado:

Dejemos que $I$ sea un objeto inicial de una categoría. Para las declaraciones

1. $I$ es estricto inicial es decir, cada morfismo $X \to I$ es un isomorfismo.
2. Todos los morfismos $X \to I$ son iguales.
3. Todo morfismo $I \to Y$ es un monomorfismo.

tenemos 1. => 2. => 3.

Prueba: 1. => 2. Sea $f,g : X \to I$ sean morfismos. Por la suposición $f$ es un isomorfismo, por lo que podemos ver $g f^{-1}$ . Se trata de un endomorfismo de $I$ De ahí la identidad. 2 => 3. es trivial.