Encontrar el área de un círculo desde el área de un triángulo rectángulo tangente

Question

Mi hermano menor me hizo esta pregunta y no supe cómo responderla. No soy matemático, pero realmente quería saber si la información proporcionada es suficiente para responder la pregunta.

Answer 1

El área del círculo es $400\pi\ \text{cm}^2$.

Desde el área de un triángulo es $60$, la otra pierna se $8$, por lo que la hipotenusa es $17$. Ahora, llamar a los dos no en ángulo recto de los vértices del triángulo $A$$B$, y dejar los tres puntos de tangencia ser $P$, $Q$, y $R$, todos de derecha a izquierda. A continuación,$AP = AQ$$BQ = BR$. Ahora, si usted termina de dibujar el cuadrado de la cual su imagen produce piezas de los dos lados, el lado del cuadrado es $15+8+AP+BR$, por lo que el radio del círculo es $\frac{23+AP+BR}{2}$. Pero $AP+BR = AQ+BQ = AB = 17$, por lo que el círculo de un radio de es $20$ y su área es de $400\pi$.

Answer 2

$\newcommand{\cm}{\mathrm{cm}}$ Llamar$AOB$ al triángulo y etiquetar los puntos de tangencia$P,\,Q,\,R$ yendo de izquierda a derecha.

Sabes$AO=\frac{120\cm^2}{15\cm}=8\cm$ y$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{289\cm^2}=17\cm$.

Además, sabes que$PA=AQ$, que$QB=BR$, que$PA+AO=BR+BO$ y que$QB+PA=AB$. Juntando los dos últimos:$$ $$\begin{cases}PA+8\cm=BR+15\cm\\ PA+BR=17\cm\end{cases}$$

Y esto se puede resolver para$PA$ y$BR$. Como$RO\perp PO$, tiene que$RO=BO+BR$ tiene la misma longitud que el radio.