¿Cómo puedo demostrar que esta función es suave?

Question

Tengo una tarea que no encuentro la manera de resolver y espero que alguien pueda ayudarme aquí.

Es así:

Dejemos que $\Omega\in R^n$ sea un dominio y $b_1,...,b_n:\Omega\to R^n$ mapeos suaves (o función, no sé la traducción correcta al español), de modo que para cada $x\in \Omega$ los vectores $b_1(x),...,b_n(x)$ son linealmente independientes.

Dejemos que $c_1,...,c_n:\Omega\to R$ sean mapeos (o funciones).

Demuestre que la función $F(x):=c_1b_1(x)+...+c_n(x)b_n(x)$ es suave cuando $c_1,...,c_n$ son suaves.

Answer 1

Permítame comenzar reduciendo su problema a uno más sencillo. No es necesario que las funciones $b_1$ son linealmente independientes; el resultado es cierto incluso sin esa suposición. Si podemos demostrar que $\Omega\ni x\mapsto c_1(x)b_1(x)$ es suave, entonces $F$ será suave como una suma finita de funciones suaves. Una función $\Omega\to\mathbb R^n$ es suave si (y sólo si) cada función componente $\Omega\to\mathbb R$ es suave. Por lo tanto, basta con demostrar que si $b,c:\Omega\to\mathbb R$ son suaves, entonces $f(x)=b(x)c(x)$ también es una función suave de $x$ .

Demostremos por inducción que $f$ tiene derivadas de todos los órdenes. En primer lugar, dejemos que $\alpha$ sea un multiíndice con $|\alpha|=1$ . Entonces $\partial^\alpha f$ existe y $\partial^\alpha f=(\partial^\alpha b)c+b\partial^\alpha c$ por la regla del producto. Sólo utilizamos la regla del producto en una dirección (la de la coordenada $\alpha$ ). Nos enteramos de que $\partial^\alpha f$ es una suma de productos de derivadas de $b$ y $c$ (que son funciones suaves).

Supongamos entonces que para algún número entero $m\geq1$ sabemos que todos los derivados $\partial^\alpha f$ de $f$ existen para $|\alpha|\leq m$ y son sumas de productos de derivadas de $b$ y $c$ . Queremos demostrar que para cualquier $\beta$ con $|\beta|=m+1$ la derivada $\partial^\beta f$ también existe y tiene esa forma. Dado que $m\geq1$ y por lo tanto $|\beta|\geq2$ sabemos que $\beta_i\geq1$ para algún índice $i\in\{1,\dots,n\}$ . Sea $\gamma=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ con un uno en el $i$ posición. Ahora también $\alpha:=\beta-\gamma$ es un índice múltiple (todos los componentes son positivos). Tenemos $\partial^\beta f=\partial^{\gamma+\alpha}f=\partial^\gamma(\partial^\alpha f)$ . Ahora podemos aplicar la regla del producto a cada término de la suma ( $\partial^\alpha f$ es de forma sumatoria), y la regla del producto también dice que $\partial^\beta f$ es una suma de productos de derivadas de $b$ y $c$ . Esto demuestra el paso inductivo.

Este no es el único enfoque posible. Una opción es demostrar que para cualquier $k$ se puede aproximar $f$ por un polinomio de orden $k$ en cualquier punto. Se pueden construir polinomios adecuados a partir de los polinomios de Taylor de $b$ y $c$ .