En el álgebra de banach: Mostrar existe$x$ st$x^2+bx+xb+c=0$

Question

Permita que$A$ sea un álgebra de banach con unidad$e$ y$b,c\in A$ sea tal que$\sigma(b^2-c)\subset \mathbb{R}^+$

Entonces existe$x\in A$ tal que$$x^2+bx+xb+c=0$ $

Quiero mostrar esto, pero no tengo la idea de proceder

Lo único que tenemos es$(b^2-c-\lambda e )$ invertible para algunos$\lambda < 0$

así que cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Estoy oxidado en mi análisis funcional, pero si completa el cuadrado, verá que desea$x$ para que$(x+b)^2 - b^2 + c = 0,$ o$(x+b)^2 = b^2 - c$. Ahora, la serie taylor para la función$\sqrt{x}$ convergerá uniformemente en$\sigma(b^2 - c)$, ya que es un subconjunto compacto de los reales positivos, y puedes construir una secuencia de polinomios en el álgebra de Banach que compila$\sqrt{b^2 - c}$ para ti. Luego reste$b$ para obtener$x$.