Diferencia de potencia en el mismo conjunto.

Question

He estado discutiendo sobre la siguiente expresión: Dado el siguiente conjunto $ S := \{1,2,3,4,5\}$ evaluar la expresión: $$ \wp S - S = $$

Creo que el resultado es $$\wp S - S = \wp S $$

Porque $\wp S$ y $S$ no tienen elementos en común. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Eso depende realmente de cuáles son los elementos de $S$ . Es común en los cursos de introducción suponer que los números no son conjuntos, en cuyo caso está claro que $\wp(S)\setminus S=\wp(S)$ porque cada elemento de $\wp(S)$ es un conjunto, mientras que cada elemento de $S$ no es un conjunto.

Sin embargo, también es una práctica habitual definir los números mediante conjuntos: $$0=\varnothing; 1=\{0\}; 2=\{0,1\}; 3=\{0,1,2\}; 4=\{0,1,2,3\}; 5=\{0,1,2,3,4\}; 6=\{0,1,2,3,4,5\}.$$ En este caso $S=6\setminus\{0\}$ . Se puede calcular y ver que en tal caso $\wp(S)$ contiene todos los elementos de $S$ y luego hay que sentarse a escribir con un poco más de detalle los conjuntos que quedan en $\wp(S)$ después de la diferencia.

Sin embargo, si $x\in S$ entonces $0\in x$ pero $0\notin S$ y por lo tanto $x\nsubseteq S$ . De ello se desprende que $S\cap\wp(S)=\varnothing$ de nuevo. Esta presentación es la de los ordinales de von Neumann. Se puede utilizar la representación de Zermelo, que es la siguiente: $$0=\varnothing; 1=\{\varnothing\}; 2=\{\{\varnothing\}\}; 3=\{\{\{\varnothing\}\}\}; 4=\{\{\{\{\varnothing\}\}\}\}; 5=\{\{\{\{\{\varnothing\}\}\}\}\}.$$

En esta presentación, $S$ hace tienen elementos comunes como $\wp(S)$ Por ejemplo $5=\{4\}$ y por lo tanto $5\in\wp(S)$ . Así que en este caso $2,3,4,5\in S\cap\wp(S)$ y por lo tanto $\wp(S)\setminus S$ tiene $2^5-4$ elementos que se pueden calcular a mano.

La interpretación de Zermelo todavía se puede encontrar en algunos lugares hoy en día, aunque es menos común porque no podemos extenderla de forma natural a los ordinales transfinitos, mientras que la interpretación de von Neumann continúa sin problemas.

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Material de lectura sobre los números como conjuntos:

1. En la teoría de conjuntos, ¿cómo se representan los números reales como conjuntos?
2. Construcción teórica de los números naturales
3. La historia de las definiciones teóricas de conjuntos $\mathbb N$

Answer 2

El conjunto de poderes de $S$ es el conjunto de todos los $T\subseteq S$ . Si $\wp S-S$ fueran a ser diferentes de $\wp S$ entonces al menos un elemento de $S$ es un subconjunto de $S$ . Dependiendo de cómo se definan los ordinales, esto puede ser cierto o no.

Por ejemplo, decir $2=\{1\}$ . Entonces $2\subseteq S$ Así que $\wp S-S\ne\wp S$ .

Answer 3

Probemos con un conjunto más pequeño. Dejemos que $S=\{1,2\}$ . Entonces ${\cal P}(S)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},S\}$ . Ahora ${\cal P}(S)\setminus S$ contiene exactamente los elementos que están en ${\cal P}(S)$ pero no en $S$ . Así, $${\cal P}(S)\setminus S=\{\emptyset,\{1\},\{2\},S\}\setminus\{1,2\}={\cal P}(S)$$ porque ni $1$ o $2$ es un elemento de ${\cal P}(S)$ .