El teorema de Sylvester Gallai y secciones de variedades con "Topología Simple".

Question

El teorema de Sylvester-Gallai afirma que para cada colección de puntos en el plano, no todo en una línea, hay una línea que contiene exactamente dos de los puntos.

Uno de los grandes dimensiones de extensión afirma que para cada conjunto de puntos no todos en un hyperplane en un d-dimensional espacio hay una [d/2] el espacio-L, cuya intersección con la colección que abarca un conjunto de cardinalidad [d/2]+1

Mi pregunta es: Dado un k-dimensional real variedad algebraica V [tal vez de un cierto tipo] incrustado en la n-dimensional espacio afín (cuya imagen se extiende por este espacio) se puede encontrar un afín r-espacio de dimensión L de modo que $V \cap L$ abarca L y es topológicamente "simple".

Observaciones: 1) Para el buen complejo de variedades de Lefschetz hyperplane teorema describe una especie de fenómeno opuesto: la homología de la hyperplane sección es (más o menos) tan complicada como la de la homología de la original del colector de todo el camino a la mitad de la dimensión.

2) No es un análogo del Teorema de Sylvester-Gallai sobre los números complejos (no, si los puntos no son colinear siempre se puede encontrar una línea que contiene 2 o 3 puntos, y si los puntos no son coplanares usted puede encontrar una línea que contiene exactamente dos puntos. La afirmación fue una conjetura por Serre demostró por primera vez por Kelly. Ver este post en Konard Swanepoel del Blog).

Así que la diferencia entre lo real AG y complejo AG no es el único problema a la mano (otra cuestión parece ser la forma fácil de reducir el colector), y podemos pedir para secciones con topología simple para el complejo de variedades así. Hay resultados conocidos en esta dirección?

3) tenga en cuenta que el punto entero en el teorema de Sylvester-Gallai y la propuesta de generalización acerca de la no-genérico incrustaciones y acerca de la intersección con la no-genérico pisos.

Sin embargo, el comportamiento de los "genéricos incrustar" (con respecto a la intersección con la no-genérico pisos) es una especie de papel por lo que esperamos que no genérica de la incrustación. Una de las dificultades es que yo no soy consciente de que una definición de "genérico incrustación" de un verdadero algebraicas semi variedad en un gran espacio Euclidiano. Hay una definición?

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Permítanme formular un problema abierto (y algunas variaciones) que toma en cuenta la discusión hasta ahora. Decimos que una incrustación de un verdadero semi variedad algebraica V en un espacio Euclidiano es genuina si su imagen se extienden por el espacio.

Problema (caso especial): Sea V un 2-dimensional variedad genuinly incrustado en el n-espacio. (n no puede ser demasiado pequeño, pero tal vez n=4 es suficiente.) A continuación, hay un plano de L cuya intersección con la V es 1-dimensional, $V \cap L$ affinely span V, y $V \cap L$ es de muy restringido topológico de tipo. (Tal vez pertenecen a una lista limitada de homotopy tipos.)

Problema (caso general): La misma conclusión (V \cap L pertenece a un pequeño conjunto de homotopy tipos) cuando V es k dimensiones, L es r dimensiones, la intersección entre la V y L es j-dimensional y la dimensión del espacio ambiental n es suficientemente grande (pero tal vez ser moderadamente grande es suficiente.) Greg ejemplo muestra que n no puede ser demasiado pequeño. (Para k=1,r=3,j=1, no podemos tomar n=4.) Sabemos también que para k=j=0 tenemos n>=2r.

Problema (caso especial) Considere el caso donde V es un arreglo de subespacios.

Problema (analógicos complejos) Considere el caso en que V es una compleja variedad; (y el caso especial de un acuerdo de subespacios).

Answer 1

Hay muchos casos de la pregunta como se afirmó que siga rápidamente de la norma teorema de Sylvester-Gallai. Si $V$ $r$- dimensiones variedad, entonces su intersección con un genérico $(n-r)$-plane es un conjunto finito de puntos. A continuación, puede aplicar la norma teorema de Sylvester-Gallai, o las dimensiones de la generalización de lo aquí indicado.

Hay casos en los que no se puede decir nada de singular variedades. Como un calentamiento, vamos a considerar un conjunto que no es una variedad algebraica, sino una unión de segmentos de línea. A continuación, podría ser la unión de todos los del interior de las diagonales de un convexo polytope $P$ con complicados facetas. Por ejemplo, usted podría tomar todo el interior de las diagonales del producto Cartesiano de dos $n$-ágonos. 3-plano que interseca $P$ 3-dimensional tiene que cruzan muchos de los bordes.

Un segmento de línea que no es un verdadero variedad algebraica. Sin embargo, puede ser sustituida por una fina aguja con topes en los extremos que es una variedad algebraica. Usted puede reemplazar a todos los de las diagonales con estas agujas, siempre y cuando usted se salta los bordes de $P$ sí, y el resultado será aún se encuentran en el casco convexo de $P$.

Una aguja de este tipo puede tener una sección transversal de cualquier dimensión y muy complicado de topología. Si usted pidió un hyperplane que específicamente se cruza en más de un conjunto finito, entonces la diagonal-la aguja de la construcción puede obligar a un montón de topología.

Usted puede buscar específicamente a la no-singular variedades. No tengo un riguroso resultado aquí, pero el buen restricción haría difícil evitar hyperplanes que hacer algo en el límite del casco convexo de $V$. El teorema de Sylvester-Gallai es más acerca de las cosas que tienen que suceder en el interior en caso de que no se producen en el límite del casco convexo.

Usted podría obligado el grado de la variedad $V$. A continuación, un simple compacidad argumento de los límites de la complejidad de la cruza, y hay un montón de interesantes límites en la topología de $V$ sí. Pero eso también va en contra del espíritu de Sylvester-Gallai, debido a que el número de puntos en que el resultado es no acotada.

Tal vez más interesante variación es mantener una intersección finita, sino que se sustituye la hyperplane con un $V$ con delimitada grado. Sin embargo, ya no es la pregunta que se presentó.

La pregunta es un poco abiertas. No puedo pensar en varias construcciones que parecen pedir una menos pregunta abierta, o una pregunta que queda abierta en una manera diferente.

Answer 2

Estimado Gil,

Pequeño punto: la primera frase requiere que el conjunto original de puntos no todos en una línea.

Mejor,

Joe