Resolver $f(n)=\begin{cases} n-3 \ \ \ \ \ \ \ \qquad{\text{if $n\ge1000$}}\\ f\big(f(n+5)\big)\quad{\text{if $n<1000$}} \end{cases}$

Question

Supongamos que tengo una función $f(n)$ a continuación, encuentre $f(84)$ : $$f(n)=\begin{cases} n-3 \ \ \ \ \ \ \ \qquad{\text{if $n\ge1000$}}\\ f\big(f(n+5)\big)\quad{\text{if $n<1000$}} \end{cases}$$ Mi intento: $$\begin{align} f(84)=&f\big(f(89)\big)\\ f(89)=&f\big(f(94)\big)\\ f(94)=&f\big(f(99)\big)\\ &\vdots\\ f(999)=&f\big(f(1004)\big)\\ f(1004)=&1001 \end{align} $$ Ahora: $$\begin{align} f(999)&=f(1001)=998\\ f(994)&=f\big(f(999)\big)=f(998)\Rightarrow f(998)=f\big(f(1003)\big)=f(1000)=997\\ &f(994)=f(998)=997\\ f(989)&=f\big(f(994)\big)=f(997)\Rightarrow f(997)=f\big(f(1002)\big)=f(999)=998\\ &f(989)=f(997)=998\\ f(984)&=f\big(f(989)\big)=f(998)=997\\ f(979)&=f\big(f(984)\big)=f(997)=998\\ \vdots && \end{align}$$ Obviamente, ya que el valor de $f(n)$ alterna entre $997$ & $998$ dependiendo de si $n$ es impar o incluso, así: $$\vdots\\ f(89)=998\\ \therefore\bbox[10px, border:1px solid black]{f(84)=997}\\ $$

Mi pregunta: ¿hay una forma más eficiente de resolver esto?

Answer 1

Definir $f^{h} = f(f(\cdots f(f(x))\cdots))$ donde la función $f$ se realiza $h$ tiempos. Encontramos que $f(84) = f(f(89)) = f^2(89) = f^3(94) = \ldots f^{y}(1004)$ . $1004 = 84 + 5(y - 1) \Longrightarrow y = 185$ . Así que ahora tenemos que reducir $f^{185}(1004)$ .

Escribamos un par de iteraciones más de esta función: \begin{align*}f^{185}(1004)&=f^{184}(1001)=f^{183}(998)=f^{184}(1003)=f^{183}(1000)\\ &=f^{182}(997)=f^{183}(1002)=f^{182}(999)=f^{183}(1004)\end{align*} Así que esta función se reitera con un período de 2 para $x$ . A primera vista podría parecer que $f(1004) = 1001$ es la respuesta; sin embargo, eso no es cierto ya que la solución se produce un poco antes. Empieza en $f^3(1004)$ : $f^{3}(1004)=f^{2}(1001)=f(998)=f^{2}(1003)=f(1000)=\boxed{997}$