Hay un anillo conmutativo $R$ tal que $\mathrm{Spec}(R)$ es homeomórficos a $\Bbb C$, ambos dotados de la Zariski topologías?
En otras palabras, es $\Bbb C$ un espacio espectral, cuando está dotado de la Zariski (es decir, cofinite) topología?
Sé que $\mathrm{Spec}(\Bbb C[x])$ puede ser visto como $\Bbb C \cup \{(0)\}$, $\mathrm{SpecMax}(\Bbb C[x])$ es homeomórficos a $\Bbb C$. Esta cuestión está estrechamente relacionado. Necesitamos comprobar las siguientes condiciones:
$X$ es sobrio. Ya tenemos el cofinite topología, creo que esto es verificado.
$X$ es compacto. La compacidad condición necesaria parece ser verificado.
Si $U,V\subseteq X$ son compactos bloques abiertos, a continuación, $U\cap V$ es también compacto. He tenido más problemas para comprobar esta propiedad, y también el siguiente.
El compacto de abrir los subconjuntos de a $X$ formar una base para la topología de $X$.
He probado también a leer esto, pero no responde a mi pregunta. De todos modos, si $\Bbb C$ pasa a ser un espacio espectral, lo que sería el correspondiente anillo de $R$? Su dimensión de Krull tiene que ser infinito. $\color{white}{\text{In some sense, we could try to change $\Bbb C[X]$ into $R$ by removing the fact that it is an integral domain...}}$
Cualquier comentario será apreciado. Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como Alex Youcis señala en su comentario, $\mathbb{C}$ con el cofinite topología no es sobrio, ya que todo el espacio es irreductible, pero no tiene punto genérico.
Pero ya que usted me preguntó sobre las demás condiciones de la definición de espacio espectral: tenga en cuenta que nuestro espacio es Noetherian. Equivalentemente, (ejercicio) cada subconjunto compacto. Para el resto de las condiciones son extremadamente satisfecho: el open conjuntos son cerrados bajo la intersección, y forman una base para el espacio.
Por último, incluso si $\mathbb{C}$ eran sobrios, no veo por qué correspondiente anillo habría infinita dimensión de Krull. La dimensión de Krull es uno menos que la longitud de la cadena de irreductible conjuntos cerrados. Aquí el único irreductible conjuntos cerrados son el espacio y los puntos, por lo que debemos esperar dimensión de Krull $1$.
