Demostración de la propiedad de las normales a una región en forma de estrella (lema "elemental" de cálculo vectorial en la EDP de Evans).

Question

No puedo seguir la demostración del siguiente Lemma (Evans's PDE , p. 515).

Lema. Si $U\subset\mathbb{R}^n$ es una región abierta en forma de estrella con $\partial U\in C^1$ entonces $x\cdot\nu(x)\ge0$ $\forall x\in \partial U$ donde $\nu$ denota la normal exterior.

Prueba. Suponemos que $U$ tiene forma de estrella respecto al origen $0$ . Desde $\partial U$ es $C^1$ si $x\in\partial U$ entonces para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $|y-x|<\delta$ y $y\in\bar{U}$ implica $$\nu(x)\cdot\frac{y-x}{|y-x|}\le\varepsilon.$$

¿Por qué?

En particular $$\limsup_{y \to x, y \in \overline{U}} \nu(x) \cdot \frac{y-x}{|y-x|} \le 0.$$

Sea $y = \lambda x$ para $0 < \lambda < 1$ . Entonces $y \in \overline{U}$ desde $U$ tiene forma de estrella respecto al origen $0$ . Por lo tanto $$\nu(x)\cdot\frac{x}{|x|} = - \lim_{\lambda \to 1^-} \nu(x) \cdot\frac{\lambda x-x}{|\lambda x-x|}.$$

¿Por qué?

Pero hemos demostrado que el último término es $\ge 0$ Por lo tanto, hemos terminado.

Answer 1

Esbozaré las respuestas a cada uno de tus "¿Por qué?" y luego daré alguna intuición de por qué el resultado debería ser cierto, sin dar una prueba completa.

A tu primer "¿Por qué?" --- El hecho de que $\partial U$ es $C^1$ significa que el campo vectorial normal es continuo y que cada punto de la frontera tiene un plano tangente. Interpretemos la ecuación en cuestión: Para un punto $y$ en $U$ o en su límite suficientemente cerca de $x$ el vector unitario de $x$ a $y$ está "casi apuntando detrás" $\nu(x)$ .

Para demostrarlo con precisión, escriba $U = F^{-1}(-\infty,0)$ y $\partial U = F^{-1}(0)$ y $\nu = \nabla F$ para un $C^1$ función $F$ . Interpretada de este modo, la afirmación es: para cualquier $\epsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ tal que si $|y-x|<\delta$ y $F(y) \leq F(x)$ entonces $$ \nabla F(x) \cdot \frac{y-x}{|y-x|} < \epsilon $$

A tu segundo "¿Por qué?" --- Sólo un poco de álgebra: $$ \frac{\lambda x - x}{|\lambda x - x|} = \frac{(\lambda - 1)x}{|\lambda - 1||x|} = -\frac{x}{|x|}$$ como $\lambda \in (0,1)$ .

¿Cuál es la intuición?

El signo del producto interior mide si un vector apunta en la dirección de otro vector. Si $x\cdot y > 0$ entonces $x$ y $y$ apuntan en la misma dirección; si $x\cdot y < 0$ entonces $x$ y $y$ apuntan en direcciones opuestas.

En el caso de un dominio en forma de estrella $U$ para cualquier $x\in \partial U$ el lema dice $x$ y $\nu(x)$ apuntan siempre en la misma dirección. En otras palabras, $\nu(x)$ nunca puede volver a apuntar hacia $x$ . ¿Por qué debería ser cierto? Si $\nu(x)$ apuntando hacia afuera y hacia $x$ y cuando nos acercamos $x$ de $0$ estaríamos fuera del dominio; por lo tanto $U$ no podría tener forma de estrella con respecto a $0$ después de todo.

En cierto sentido, la prueba es al revés. Al demostrar este lema a partir de cero, uno debe comenzar con esta intuición, escribir la condición, a continuación, ser llevado a cabo el análisis a su primer "¿Por qué es eso?"