Mayorante

Question

De algunas lecturas, me he dado cuenta que $\sup(\emptyset)=\min(S)$, $\inf(\emptyset)=\max(S)$, dado que el % existen $\min(S)$y $\max(S)$, $S$ Dónde está el universo en el que se está trabajando. ¿Hay algún razonamiento/prueba inherente en cuanto a por qué es? Me parece raro que un límite superior de un conjunto sería más pequeño que un límite inferior del mismo conjunto.

Answer 1

Una rápida contrapunto a Arturo respuesta: sí, el hecho de que $\operatorname{sup}(\emptyset) = -\infty < \infty = \operatorname{inf}(\emptyset)$ le parece extraño a primera. Pero es diseñado, entre otras cosas, para preservar una interfaz intuitiva y útil propiedad de infima y suprema:

Deje $S$ $T$ ser subconjuntos de a$\mathbb{R}$$S \subset T$. Entonces

$\operatorname{inf}(T) \leq \operatorname{inf}(S)$

y

$\operatorname{sup}(T) \geq \operatorname{sup}(S)$.

En efecto, mediante la adición de elementos a un conjunto, su infimum sólo puede obtener más pequeño y su supremum sólo puede ser más grande. Ahora, si tomamos $S = \emptyset$ y deje $T$ rango incluso a través de todos uno de los elementos de los subconjuntos de a $\mathbb{R}$, vemos que en el orden de estas desigualdades para hold le debe definir $\operatorname{inf}(\emptyset)$ $\operatorname{sup}(\emptyset)$ como lo hicimos nosotros.

Answer 2

El supremum se define para ser el límite superior. Una cota superior de un conjunto $K$ se define como un elemento $b$ tal que para todo $k\in K$, $k\leq b$. Si $K$ está vacía, entonces la condición de "para todos $k\in K$, $k\leq b$" es verdad vacuidad (tiene una implicación de la forma "si $k$ es un elemento del conjunto vacío, entonces $\lt$pasa algo$\gt$", y el antecedente es siempre falsa por lo que la implicación es siempre cierto).

Por lo tanto, cada elemento de la $S$ es un límite superior para $\emptyset$; desde $\sup(\emptyset)$ es la menor cota superior, lo que significa que $\sup(\emptyset)=\min($límites superiores de $\emptyset) = \min(S)$.

Del mismo modo, el infimum es la mayor cota inferior, y cada elemento de a $S$ es un límite inferior para $\emptyset$, lo $\inf(\emptyset) = \max($inferiores a los límites de la $\emptyset) = \max(S)$.

Sí, es un poco contradictorio que usted ha $\sup(\emptyset)\leq\inf(\emptyset)$, pero en realidad es el conjunto vacío es el único para el cual se tiene $\sup(\emptyset)\lt \inf(\emptyset)$. El conjunto vacío causa a menudo contradictorio de los resultados.

Answer 3

Una muy explicación natural de la correcta definición de los valores de min y max en el vacío conjuntos surge de su dual universal definiciones - de forma análoga a la universal MCD, MCM definiciones que presenté en un post aquí.

Primero un poco de notación. $\;$ Escritura $\ \ \rm x \le S \;\iff\; x \le s,\;\: \forall\: s \in S,\;$ y doblemente por $\rm\; x \ge S$

DEFINICIÓN de $\:$ min $\quad$ $\quad\rm x \le S \;\iff\; x \le min\ S$

DEFINICIÓN de max $\:\quad$ $\quad\rm x \ge S \;\iff\; x \ge max\ S$

Para min, cuando $\;\rm S = \emptyset\;$ está vacía, la primera cláusula de $\;\rm x \le S\;$ en el min definición es vacuously verdadero, de ahí que la definición se reduce a $\;\rm x \le \min \emptyset\;$ todos los $\;\rm x\;$. Por lo tanto $\;\rm \min \emptyset = \infty\;$. Doblemente $\;\rm \max\emptyset = -\infty\;$.

Como comenté en dicho MCD, MCM post, las definiciones universales a menudo facilitan la mancha de pruebas. Para algunos ejemplos no triviales de min, max sabor considerar la mancha pruebas de la integralidad de los distintos productos de los coeficientes binomiales mediante el empleo de la función del suelo, por ejemplo, ver a Joe Roberts: Elemental a la Teoría de números. En lugar de cerrar con un análogo de slick MCD, MCM prueba de mi mencionado post (ver para más detalles).

En general, en cualquier dominio, tenemos los siguientes dual universal definiciones de MCM y MCD:

DEFINICIÓN de LCM $\quad$ Si $\quad\rm a,b\ |\ c \;\iff\; [a,b]\ |\ c \quad$ $\quad\rm [a,b] \;\;$ es una LCM de $\;\rm a,b$

DEFINICIÓN de MCD $\quad$ Si $\quad\rm c\ |\ a,b \;\iff\; c\ |\ (a,b) \quad$ $\quad\rm (a,b) \;$ es un MCD de a $\;\;\rm a,b$

Nota: $\;\rm a,b\ |\ [a,b] \;$ sigue poniendo $\;\rm c = [a,b] \;$ en la definición. Doblemente $\;\rm (a,b)\ |\ a,b \;$

Tal $\iff$ definiciones proporcionan slick unificado de las pruebas de ambos flecha direcciones, por ejemplo fundamentales

TEOREMA $\rm\quad (a,b)\ =\ ab/[a,b] \;\;$ si $\;\rm\ [a,b] \;$ existe.

Prueba: $\rm\quad\quad d\ |\ a,b \;\iff\; a,b\ |\ ab/d \;\iff\; [a,b]\ |\ ab/d \;\iff\; d\ |\ ab/[a,b] \quad\;\;$ QED

La concisión de esta prueba surge por la explotación a la empuñadura de la $\iff$ definición de MCM y MCD. Comparar a menos conciso / general / iluminando las pruebas en muchos teoría de los números de los libros de texto.